Bài 61 trang 91 sgk toán lớp 9 tập 2

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a)

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O;r)

Hướng dẫn giải:

a) Chọn điểm O làm tâm , mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm: (O; 2cm)

Vẽ bằng eke và thước thẳng.

b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O;2cm)

c) Vẽ OH ⊥ AD

OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

                r = OH = AH.

                r² + r² = OA² = 2² => 2r² = 4 => r = √2  (cm)

Vẽ đường tròn (O;√2cm). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh

Bài 62 trang 91 sgk toán lớp 9 tập 2

a) Vẽ tam giác ABC cạnh a = 3cm.

b) Vẽ đường tròn (O;R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.

c) Vẽ đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.

d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O;R).

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa)

b) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác của tam giác đều ABC).

 Ta có:  R= OA = $\frac{2}{3}$AA' = $\frac{2}{3}$. $\frac{AB\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{2}{3}$ . $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ = √3 (cm).

c) Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A', B', C' của các cạnh.

           r = OA' = $\frac{1}{3}$ AA' =$\frac{1}{3}$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cm)

d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,B,C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có ∆IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O;R).

Bài 63 trang 92 sgk toán lớp 9 tập 2

Vẽ các hình lục giác đều, hình vuông, hình tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O;R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.

Hướng dẫn giải:

Hình a.

Gọi a_i  là cạnh của đa giác đều i cạnh.

a) a₆= R (vì OA₁A₂ là tam giác đều)

Cách vẽ: vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung , ,...,  mà căng cung có độ dài bằng R. Nối A₁ với A₂, A₂ với A₃,…,A₆ với A₁ ta được hình lục giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆ nội tiếp đường tròn

b) Hình b

Trong tam giác vuông OA₁A₂: a² = R² + R² = 2R² => a₄ = R√2

Cách vẽ như ở bài tập 61.

c) Hình c

A₁H = R +$\frac{R}{2}$ =  $\frac{3R}{2}$

A₃H = $\frac{a}{2}$ 

A₁A₃ = a

Trong tam giác vuông A₁HA₃ ta có: A₁H² = A₁A₃² – A₃H^2.

Từ đó $\frac{9R^2}{4}$ = a² - $\frac{a^2}{4}$.

=> a² = 3R² => a = R√3

Cách vẽ như câu a) hình a.

Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác A₁A₃A₅  như trên hình c

Bài 64 trang 92 sgk toán lớp 9 tập 2

Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho sđ cung AB = 60^o, sđ cung BC = 90^o và sđ cung CD = 120^o

a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.

Hướng dẫn giải:

$\widehat{BAD}=\frac{{90}^0+{120}^0}{2}={105}^0$ (góc nội tiếp chắn cung BCD)     (1)

$\widehat{ADC}=\frac{{60}^0+{90}^0}{2}={75}^0$ ( góc nội tiếp chắn cung ABC)          (2)

Từ (1) và (2) có:

$\widehat{BAD}+\widehat{ADC}={105}^0+{75}^0={180}^0$ (3)

$\widehat{BAD}$ và $\widehat{ADC}$ là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD và hai đường thẳng AB, CD.

Đẳng thức (3) chứng tỏ AB // CD. Do đó tứ giác ABCD là hình thang, mà hình thang nội tiếp là hình thang cân. 

Vậy ABCD là hình thang cân (BC = AD và sđ cung BC = AD =  90^o )

b) Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.

$\widehat{CID}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:

$\widehat{CID}=\frac{sđcungAB+sđcungCD}{2}=\frac{{60}^0+{120}^0}{2}={90}^0$

Vậy AC  ⊥ BD

c)

Vì sđ cung AB = 60^o nên $\widehat{AIB}={60}^0$ => ∆AIB đều, nên AB = R

Vì sđ cung BC = 90^o nên BC = R√2

         AD = BC = R√2

nên sđ cung CD= 120^o nên CD = R√3