Bài 38 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Hãy tính thể tích , diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình 114.

 

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: Thể tích phần cần tính là tổng thể tích của hai hình trụ có đường kính là 11cm và chiều cao là 2cm.

$V_1=\pi R^2{h}_1=\pi {\left(\frac{11}{2}\right)}^2.2=60,5\pi \left(c{m}^3\right)$ 

Thể tích hình trụ có đường kính đáy là 6cm, chiều cao là 7cm

$V_2=\pi R^2{h}_2=\pi {\left(\frac{6}{2}\right)}^2.7=63\pi \left(c{m}^3\right)$ 

Vậy thể tích của chi tiết máy cần tính là:

V = V₁ + V₂ = 60,5π + 63 π = 123,5 π (cm³)

Tương tự, theo đề bài diện tích bề mặt của chi tiết máy bằng tổng diện tích xung quanh cua hai chi tiết máy.

Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính đáy 11 cm và chiều cao là 2cm là: 

$S_{xq\left(1\right)}=2\pi R{h}_1=2\pi \frac{11}{2}.2=22\pi \left(c{m}^2\right)$

Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính đáy là 6cm và chiều cao là 7cm là:

$S_{xq\left(2\right)}=2\pi R{h}_2=2\pi \frac{6}{2}.7=42\pi \left(c{m}^2\right)$ 

Vậy diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

S = S_xq(1) + S_xq(2) = 22π + 42π = 64π (cm²)

Bài 39 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Một hình chữ nhật ABCD có AB > AD, diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a² và 6a. Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh AB, ta được một hình trụ.

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.

Hướng dẫn trả lời:

Theo đề bài ta có:

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: AB.AD = 2a² (1)

Chu vi hình chữ nhật  là: 2(AB + CD) = 6a ⇒ AB + CD = 3a (2)

Từ (1) và (2), ta có AB và CD là nghiệm của phương trình:

x² – 3ax – 2a² = 0

Giải phương trình ta được x₁ =  2a; x₂ = a

Theo giả thiết AB > AD nên ta chọn AB = 2a; AD = a

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là:

S_xq = 2π . AD . AB = 2π . a . 2a = 4 πa²

Thể tích hình trụ là:

V = π . AD² . AB = π. a² . 2a = 2πa³

Bài 40 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên hình 115.

 

Hướng dẫn trả lời:

- Với hình a:

S_tp = S_xq + S_đáy = πrl + πr² = π . 2,5 . 5,6 + π . 2,5² = 63,69 (m²)

- Với hình b:

S_tp = S_xq + S_đáy = π . 3,6 . 4,8 + π . 3,6² = 94,95 (m²)

Bài 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự đó, OA = a, OB = b (a,b cùng đơn vị: cm).

Qua A và B vẽ theo thứ tự các tia Ax và By cùng vuông góc với AB và cùng phía với Ab. Qua O vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt Ax ở C, By ở D (xem hình 116).

a) Chứng minh AOC và BDO là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích AC.BD không đổi.

b) Tính diện tích hình thang ABCD khi $\widehat{COA}={60}^0$ 

c) Với $\widehat{COA}={60}^0$ cho hình vẽ quay xung quanh AB. Hãy tính tỉ số tích các hình do các tam giác AOC và BOD tạo thành

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét hai tam giác vuông AOC và BDO ta có: $\hat{A}=\hat{B}={90}^0$ 

 $\widehat{AOC}=\widehat{BDO}$ (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc).

Vậy ∆AOC ~ ∆BDO

$\Rightarrow \frac{AC}{AO}=\frac{BO}{BD}hay\frac{AC}{a}=\frac{b}{BD}$ (1)

Vậy AC . BD = a . b = không đổi.

b) Khi  thì tam giác AOC trở thành nửa tam giác đều cạnh là OC, chiều cao AC.

$\Rightarrow OC=2AO=2a\iff AC=\frac{OC\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

Thay AC = a√3 vào (1), ta có:

$\frac{AC}{a}=\frac{b}{BD}=a\sqrt{3}.BD=a.b\Rightarrow BD=\frac{ab}{a\sqrt{3}}=\frac{b\sqrt{3}}{3}$ 

Ta có công thức tính diện tích hình thang ABCD là:

$\begin{array}{c}S=\frac{AC+BD}{2}.AB=\frac{a\sqrt{3}+\frac{b\sqrt{3}}{3}}{2}.\left(a+b\right)\\ =\frac{\sqrt{3}}{6}\left(3a^2+4ab+b^2\right)\left(c{m}^2\right)\end{array}$

c) Theo đề bài ta có:

∆AOC tạo nên hình nón có bán kính đáy là AC = a√3 và chiều cao là AO = a.

∆BOD tạo nên hình nón có bán kính đáy là $BD=\frac{b\sqrt{3}}{3}$ và chiều cao OB = b

Ta có: 

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}\pi .A{C}^2.AO}{\frac{1}{3}\pi .B{D}^2.OB}=\frac{A{C}^2.AO}{B{D}^2.OB}=\frac{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2.a}{{\left(\frac{b\sqrt{3}}{3}\right)}^2.b}=\frac{3a^3}{\frac{b^3}{3}}=\frac{9a^3}{b^3}$ 

Vậy  $\frac{V_1}{V_2}=\frac{9a^3}{b^3}$

Bài 42 trang 130 SGK Toán 9 tập 2

Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.117).

Hướng dẫn trả lời:

- Hình a:

Thể tích hình trụ có đường kính đáy 14cm, đường cao 5,8cm

V₁ = π . r²h = π. 7². 5,8 = 284,2 π (cm³)

Thể tích hình nón có đường kính đáy 14cm và đường cao 8,1 cm.

$V_2=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.7}^2.8,1=132,3\pi \left(c{m}^3\right)$ 

Vậy thể tích hình cần tính là:

V = V₁ + V₂ = 2,84,2π + 132,3π = 416,5π (cm³)

- Hình b)

Thể tích hình nón lớn: $V_1=\frac{1}{3}\pi r^2{h}_1=\frac{1}{3}\pi {\left(7,6\right)}^2.16,4=991,47\left(c{m}^3\right)$ 

Thể tích hình nón nhỏ: $V_2=\frac{1}{3}\pi r^2{h}_2=\frac{1}{3}\pi {\left(3,8\right)}^2.8,2=123,93\left(c{m}^3\right)$

Thể tích hình nón cần tính là: V = V₁ – V₂ = 991,47 – 123,93 = 867,54 cm³

Bài 43 trang 130 SGK Toán 9 tập 2

Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.118) (đơn vị : cm).

Hướng dẫn trả lời:

Hình a.

$\begin{array}{c}V=\pi {\left(\frac{12,6}{2}\right)}^2.8,4+\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{12,6}{2}\right)}^3\\ =\frac{1}{3}\pi {\left(6,9\right)}^2.\left(8,4+\frac{12,6}{3}\right)=500,094\pi \left(c{m}^3\right)\end{array}$ 

Vậy V_{hình a} = 500,094π cm³

Hình b.

$\begin{array}{c}V=\frac{1}{3}\pi {\left(6,9\right)}^2.20+\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi .{\left(6,9\right)}^3\\ =\frac{1}{3}\pi {\left(6,9\right)}^2\left(20+13,8\right)=536,406\pi \left(c{m}^3\right)\end{array}$ 

Vậy V_{hình b} = 536, 406π cm³

Hình c.

$V=\frac{1}{3}\pi {.2}^2.4+\pi {.2}^2.4+\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {.2}^3={4.2}^2.\pi \left(\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}\right)=\frac{80\pi }{3}\left(c{m}^3\right)$

Vậy V_{hình c}  = $\frac{80\pi }{3}c{m}^3$

Bài 44 trang 130 SGK Toán 9 tập 2

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB (h.119). Cho hình đó quay quanh trục GO. Chứng minh rằng:

a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Hướng dẫn trả lời:

a) Thể tích hình trụ được tạo bởi hình vuông ABCD là:

$V=\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2.BC$ với AB là đường chéo của hình vuông có cạnh là R và AB = R√2 (=BC)

$\begin{array}{c}V=\pi {\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)}^2.R\sqrt{2}\\ =\pi .\frac{2R^2}{4}.R\sqrt{2}=\frac{\pi R^3\sqrt{2}}{2}\\ \Rightarrow V^2=\left(\frac{\pi R^3\sqrt{2}}{2}2\right)=\frac{2{\pi }^2{R}^6}{2}\left(1\right)\end{array}$

Thể tích hình cầu có bán kính R là: $V_1=\frac{4}{3}\pi R^3$ 

Thể tích hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng $\frac{EF}{2}$ là:

 $V_2=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{EF}{2}\right)}^2.GH$

Với EF = R√3 (cạnh tam giác đều nội tiếp trong đường tròn (O;R))

và $GH=\frac{EF\sqrt{3}}{2}=\frac{R\sqrt{3.}\sqrt{3}}{2}=\frac{3R}{2}$ 

Thay vào V₂, ta có: $V_2=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)}^2.\frac{3R}{2}=\frac{3}{8}\pi R^3$ 

Ta có: $V_1{V}_2=\frac{4}{3}\pi R^3.\frac{3}{8}\pi R^3=\frac{{\pi }^2{R}^6}{2}\left(2\right)$

So sánh (1) và (2) ta được : V² = V₁. V₂

b) Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính $\frac{AB}{2}$ là:

$\begin{array}{c}S=2\pi \left(\frac{AB}{2}\right).BC+2\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2\\ S=2\pi .\frac{R\sqrt{2}}{2}R\sqrt{2}+2\pi {\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)}^2\\ S=2\pi R^2+\pi R^2=3\pi R^2\\ \Rightarrow S^2={\left(3\pi R^2\right)}^2=9{\pi }^2.R^4\left(1\right)\end{array}$ 

Diện tích mặt cầu có bán kính R là: S₁ = 4πR² (2)

Diện tích toàn phần của hình nón là:

$S_2=\pi \frac{EF}{2}.FG+\pi {\left(\frac{EF}{2}\right)}^2=\pi \frac{R\sqrt{3}}{2}.R\sqrt{3}+\pi {\left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{9\pi R^2}{4}$ 

Ta có: $S_1{S}_2=4\pi R^2.\frac{9\pi R^2}{4}=9{\pi }^2{R}^4\left(2\right)$

So sánh (1) và (2) ta có: S² = S₁. S₂

Bài 45 trang 131 SGK Toán 9 tập 2

Hình 120 mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong một hình trụ, các kích thước cho trên hình vẽ.

Hãy tính:

a)Thể tích hình cầu.

b) Thể tích hình trụ.

c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu.

d) Thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r cm và chiều cao 2r cm.

e) Từ các kết quả a), b), c), d) hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Thể tích của hình cầu là:

$V_1=\frac{4}{3}\pi r^3\left(c{m}^3\right)$ 

b) Thể tích hình trụ là:

V₂ = πr². 2r =  2πr³ (cm³)

c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu là:

$V_3=V_2-V_1=2\pi r^3-\frac{4}{3}\pi r^2=\frac{2}{3}\pi r^3\left(c{m}^3\right)$ 

d) Thể tích hình nón là:

$V_4=\frac{\pi }{3}{r}^2.2r=\frac{2}{3}\pi r^3\left(c{m}^3\right)$ 

e) Từ kết quả ở câu s, b,c, d ta có hệ thức: V₄ = V₂ – V₁ hay “ Thể tích hình nón nội tiếp trong hình trụ bằng hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu nội tiếp trong hình trụ ấy”