Bài 1 trang 131 SGK Toán 9

Xét các mệnh đề sau:

I. $\sqrt{\left(-4\right).\left(-25\right)}=\sqrt{-4}.\sqrt{-25}$ ;                      

II. $\sqrt{\left(-4\right).\left(-25\right)}=\sqrt{100}$

III. $\sqrt{100}=10$                                             

IV. $\sqrt{100}=\pm 10$

Những mệnh đề nào là sai?

Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu A, B, C, D dưới đây:

A. Chỉ có mệnh đề I sai;

B. Chỉ có mệnh đề II sai;

C. Các mệnh đề I và IV sai;

D. Không có mệnh đề nào sai.

Hướng dẫn trả lời:

Chọn C  vì:

Mệnh đề I sai vì không có căn bậc hai của số âm

Mệnh đề IV sai vì √100 = 10 (căn bậc hai số học)

Các mệnh đề II và III đúng

Bài 2 trang 131 SGK Toán 9

Rút gọn các biểu thức:

$M=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{6+4\sqrt{2}}$

$N=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}$

Hướng dẫn trả lời:

$\begin{array}{c}M=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{6+4\sqrt{2}}\\ =\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{2}.1+1^2}-\sqrt{{\left(2\right)}^2+2\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}\\ =\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^3}-\sqrt{{\left(2+\sqrt{2}\right)}^2}\\ =\left|\sqrt{2}-1\right|-\left|2+\sqrt{2}\right|\\ =\sqrt{2}-1-2-\sqrt{2}=-3\end{array}$

$\begin{array}{c}N=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ \Rightarrow N^2={\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}^2\\ =2+\sqrt{3}+2\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}+2-\sqrt{3}\\ =4+2\sqrt{4-3}=6\end{array}$

Vì N > 0 nên N² = 6 ⇒ N = √6. Vậy $N=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{6}$

Bài 3 trang 132 SGK Toán 9

Giá trị của biểu thức 

$\frac{2\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ bằng

(A) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$         (B) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$          (C) 1                (D)$\frac{4}{3}$ 

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có:

$\begin{array}{c}\frac{2\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{2\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right).\sqrt{2}}{3\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2}}\\ =\frac{2\left(2+2\sqrt{3}\right)}{3\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right).2}}=\frac{2\left(2+2\sqrt{3}\right)}{3.\sqrt{4+2\sqrt{3}}}\\ =\frac{2\left(2+2\sqrt{3}\right)}{3\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+2\sqrt{3}.1+1^2}}=\frac{4\left(1+\sqrt{3}\right)}{3\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}}\\ =\frac{4\left(1+\sqrt{3}\right)}{3\left(1+\sqrt{3}\right)}=\frac{4}{3}\end{array}$

Chọn đáp án D

Bài 4 trang 132 SGK Toán 9

Nếu 

$\sqrt{2+\sqrt{x}}=3$ thì x bằng:

(A) 1;              (B) √7;                        (C) 7                (D) 49

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\sqrt{2+\sqrt{x}}=3$ . Vì hai vế đều dương, ta bình phương hai vế

${\left(\sqrt{2+\sqrt{x}}\right)}^2=3^2\iff 2+\sqrt{x}=9\iff \sqrt{x}=7\iff {\left(\sqrt{x}\right)}^2=7^2\iff x=49$

Chọn đáp án D

Bài 5 trang 132 SGK Toán 9

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

 $\left(\frac{2+\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right).\frac{x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

Hướng dẫn trả lời:

ĐKXĐ: 0 < x ≠ 1.

Đặt √x = a (a > 0 và a ≠ 1)

Ta có: 

$\begin{array}{c}\left(\frac{2+\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right).\frac{x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\\ =\left[\frac{2+a}{a^2+2a+1}-\frac{a-2}{a^2-1}\right].\frac{a^3+a^2-a-1}{a}\\ =\left[\frac{\left(2+a\right)\left(a-1\right)-\left(a-2\right)\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2-1\right)}\right].\frac{\left(a+1\right)\left(a^2-1\right)}{a}\\ =\frac{2a}{\left(a+1\right)\left(a^2-1\right)}.\frac{\left(a+1\right)\left(a^2-1\right)}{a}=2\end{array}$

Bài 6 trang 132 SGK Toán 9

Cho hàm số y = ax + b .Tìm a và b, biết rằng đồ thị của hàm số đã cho thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-1; -1).

b) Song song với đường thẳng y = x + 5 và đi qua điểm C(1; 2).

Hướng dẫn trả lời:

Gọi (d) là đồ thị hàm số  y = ax + b

a) Vì A(1; 3) ∈ (d) nên 3 = a + b

Vì B(-1; -1) ∈ (d) nên  -1 = -a + b

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}a+b=3\\ -a+b=-1\end{array}$ 

Giải hệ phương trình ta được: a = 2; b = 1

b) Vì (D): y = ax + b song song với đường thẳng (d’): y = x + 5 nên suy ra:

a = a’ = 1

Ta được (d): y = x + b

Vì C (1; 2) ∈ (d): 2 = 1 + b ⇔ b =1

Vậy a = 1; b = 1

Bài 7 trang 132 SGK Toán 9

Cho hai đường thẳng:

y = (m + 1)x + 5     (d₁)

y = 2x + n     (d₂)

Với giá trị nào của m và n thì:

a) d₁ trùng với d₂?

b) d₁ cắt d₂?

c) d₁ song song với d₂?

Hướng dẫn trả lời:

a) (d₁) ≡ (d₂) khi và chỉ khi $\{\begin{array}{c}m+1=2\\ n=5\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m=1\\ n=5\end{array}$

b) (d₁) cắt (d₂) ⇔ m + 1 ≠ 2 ⇔ m ≠ 1

c) $\left(d_1\right)\parallel \left(d_2\right)\iff \{\begin{array}{c}m+1=2\\ n\ne 5\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m=1\\ n\ne 5\end{array}$

Bài 8 trang 132 SGK Toán 9

Chứng minh rằng khi k thay đổi, các đường thẳng (k + 1)x – 2y = 1 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.

Hướng dẫn trả lời:

Trong phương trình biểu diễn các đường thẳng (k + 1)x – 2y = 1, ta nhận thấy: Khi x = 0 thì

Điều này chứng tỏ rằng các đường thẳng có phương trình:

(k + 1)x – 2y = 1 luôn luôn đi qua điểm cố định I có tọa độ  $\left(0;-\frac{1}{2}\right)\forall k\in R$

Bài 9 trang 133 SGK Toán 9

Giải các hệ phương trình:

a) $\{\begin{array}{c}2x+3\left|y\right|=13\\ 3x-y=3\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}3\sqrt{x}-2\sqrt{y}=-2\\ 2\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\end{array}$

Hướng dẫn trả lời:

a)  $\{\begin{array}{c}2x+3\left|y\right|=13\\ 3x-y=3\end{array}$

- Trường hợp y ≥ 0, ta có:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}2x+3\left|y\right|=13\\ 3x-y=3\end{array}\\ \iff \left(3\right)\{\begin{array}{c}2x+3y=13\\ 3x-y=3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x+3y=13\\ 9x-3y=9\end{array}\iff \{\begin{array}{c}11x=22\\ 3x-y=3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=2\\ y=3\end{array}\end{array}$ 

Vậy (x =2; y = 3) là nghiệm của hệ phương trình

- Trường hợp y < 0, ta có:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}2x+3\left|y\right|=13\\ 3x-y=3\end{array}\\ \iff \left(3\right)\{\begin{array}{c}2x-3y=13\\ 3x-y=3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x-3y=13\\ -9x+3y=-9\end{array}\iff \{\begin{array}{c}-7x=4\\ 3x-y=3\end{array}\{\begin{array}{c}x=-\frac{4}{7}\\ y=-\frac{33}{7}\end{array}\end{array}$ 

Vậy $x=-\frac{4}{7};y=-\frac{33}{7}$ là nghiệm của hệ phương trình

Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm: (2; 3) và $\left(-\frac{4}{7};-\frac{33}{7}\right)$ 

b)

Đặt X = √x (với X ≥ 0); Y = √y (với Y ≥ 0)

Khi đó: 

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}3\sqrt{x}-2\sqrt{y}=-2\\ 2\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\end{array}\\ \iff \left(2\right)\{\begin{array}{c}3X-2Y=-2\\ 2X+Y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}3X-2Y=-2\\ 4X+2Y=2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}7X=0\\ 2X+Y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}X=0\\ Y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\sqrt{x}=0\\ \sqrt{y}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=0\\ y=1\end{array}\end{array}$

Vậy (0; 1) là nghiệm của hệ phương trình.

Bài 10 trang 133 SGK Toán 9 

Giải các hệ phương trình:

a) $\{\begin{array}{c}2\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}=1\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=2\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}{\left(x-1\right)}^2-2y=2\\ 3{\left(x-1\right)}^2+3y=1\end{array}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\{\begin{array}{c}2\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}=1\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=2\end{array}$

Đặt $X=\sqrt{x-1}$ (điều kiện X ≥ 0)

$Y=\sqrt{y-1}$ (điều kiện Y ≥ 0)

Thay vào phương trình ta được:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}2X-Y=1\\ X+Y=2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}3X=3\\ X+Y=2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}X=1\\ Y=1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}\sqrt{x-1}=1\\ \sqrt{y-1}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x-1=1\\ y-1=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=2\\ y=2\end{array}\end{array}$ 

Vậy (2;2) là nghiện của hệ phương trình

b) $\{\begin{array}{c}{\left(x-1\right)}^2-2y=2\\ 3{\left(x-1\right)}^2+3y=1\end{array}$

Đặt X = (x – 1)²(điều kiện X ≥ 0)

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{\left(x-1\right)}^2-2y=2\\ 3{\left(x-1\right)}^2+3y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}X-2y=2\\ 3X+3y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}-3X+6y=-6\\ 3X+3y=1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}9y=-5\\ X-2y=2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=-\frac{5}{9}\\ X=\frac{8}{9}\end{array}\end{array}$ 

Ta có  ${\left(x-1\right)}^2=X=\frac{8}{9}\iff x-1=\pm \sqrt{\frac{8}{9}}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Với  $x-1=\frac{2\sqrt{2}}{3}\iff x=\frac{2\sqrt{2}}{3}+1$

Với  $x-1=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\iff x=1-\frac{1\sqrt{2}}{3}$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: $\left(1+\frac{2\sqrt{2}}{3};-\frac{5}{9}\right)$ và $\left(1-\frac{2\sqrt{2}}{3};-\frac{5}{9}\right)$  

Bài 11 trang 133 SGK Toán 9

Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng  

$\frac{4}{5}$ số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu trong mỗi giá

Hướng dẫn trả lời:

Gọi x (cuốn) là số sách ở giá thứ nhất; y (cuốn) là số sách ở giá thứ hai lúc ban đầu. Điều kiện x và y: nguyên dương.

Ta có phương trình: $\{\begin{array}{c}x+y=450\\ y+50=\frac{4}{5}\left(x-50\right)\end{array}$

Giải hệ phương trình, ta được x = 300; y = 150.

Vậy số sách lúc đầu ở giá thứ I là 300 cuốn, ở giá thứ II là 150 cuốn

Bài 12 trang 133 SGK Toán 9

Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài 5km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi x (km/h) và vận tốc của xe đạp lúc lên dốc và y (km/h) là vận tốc xe đạp lúc xuống dốc. Điều kiện x > 0, y > 0

Ta có phương trình:  $\{\begin{array}{c}\frac{4}{x}+\frac{5}{y}=\frac{40}{60}\\ \frac{5}{x}+\frac{4}{y}=\frac{41}{60}\end{array}$

Giải hệ phương trình, ta được x =12; y = 15

Vậy vận tốc xe đạp lúc lên dốc là 12km/h và xuống dốc là 15km/h

Bài 13 trang 133 SGK Toán 9

Xác định hệ số a của hàm y = ax², biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(-2; 1). Vẽ đồ thị của hàm số đó.

Hướng dẫn trả lời:

 Gọi (P) là đồ thị hàm số  y = ax²

Vì A(-2;1) ∈ (P): y = ax² nên: 1 = a(-2)² ⇔ 4a = 1 ⇔ $a=\frac{1}{4}$

Vậy ta có hàm số $y=\frac{1}{4}{x}^2$

Vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{1}{4}{x}^2$

- Tập xác định D =R

- Bảng giá trị:

- Vẽ đồ thị: hình bên

Bài 14 trang 133 SGK Toán 9

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 3x² – ax – b = 0. Tổng x₁ + x₂ bằng:

(A) $-\frac{a}{3}$                (B) $\frac{a}{3}$                (C) $\frac{b}{3}$               (D) $-\frac{b}{3}$ 

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Hướng dẫn trả lời:

Vì x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

$3x^2-ax+b=0\Rightarrow S=x_1+x_2=\frac{a}{3}$

Chọn đáp án B 

Bài 15 trang 133 SGK Toán 9

Hai phương trình x² + ax + 1 = 0 và x² - x - a = 0 có một nghiệm thực chung khi a bằng:

(A) 0 ;     (B) 1 ;     (C) 2 ;     (D) 3

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Hướng dẫn trả lời:

Giả sử x_o là nghiệm chung của hai phương trình, thì x₀ phải là nghiệm của hệ:

$\{\begin{array}{c}{x}_0^2+a{x}_0+1=0\left(1\right)\\ x_0^2-x_0-a=0\left(2\right)\end{array}$ 

Lấy (1) trừ cho (2), ta được:  

$\left(a+1\right)\left(x+1\right)=0\iff \{\begin{array}{c}a+1=0\\ x+1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=-1\\ x=-1\end{array}$

- Thay a = -1 vào (2), ta được: $x_0^2-x_0+1=0$

Giải phương trình ta được phương trình vô nghiệm

Vậy loại trường hợp a = -1

- Thay x₀ = -1 vào (2), ta có a =2

Khi đó hai phương trình đã cho có nghiệm chung x₀ = -1

Chọn đáp án C