Bài 27 trang 20 sgk toán 9 tập 2

Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về  dạng hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn rồi giải:

a) $\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1\\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=5\end{array}$.  Hướng dẫn. Đặt u = $\frac{1}{x}$, v = $\frac{1}{y}$;

b) $\{\begin{array}{c}\frac{1}{x-2}+\frac{1}{y-1}=2\\ \frac{2}{x-2}-\frac{3}{y-1}=1\end{array}$ Hướng dẫn. Đặt u = $\frac{1}{x-2}$, v = $\frac{1}{y-1}$.

Bài giải:

a) Điền kiện x ≠ 0, y ≠ 0.

Đặt u = $\frac{1}{x}$, v = $\frac{1}{y}$ ta được hệ phương trình ẩn u, v: $\{\begin{array}{c}u-v=1\\ 3u+4v=5\end{array}$

(1) ⇔ u = 1 + v (3)

Thế (3) vào (2): 3(1 + v) +4v = 5

⇔ 3 + 3v + 4v = 5 ⇔ 7v =2 ⇔ v = $\frac{2}{7}$

Từ đó u = 1 + v = 1 + $\frac{2}{7}$ = $\frac{9}{7}$.

Suy ra hệ đã cho tương đương với: $\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}=\frac{9}{7}\\ \frac{1}{y}=\frac{2}{7}\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x=\frac{7}{9}\\ y=\frac{7}{2}\end{array}$

b) Điều kiện x - 2 ≠ 0, y - 1 ≠ 0 hay x ≠ 2, y ≠ 1.

Đặt u = $\frac{1}{x-2}$, v = $\frac{1}{y-1}$ ta được hệ đã cho tương đương với:

$\{\begin{array}{c}u+v=2\\ 2u-3v=1\end{array}$

(1) ⇔ v = 2 - u (3)

Thế (3) vào (2): 2u - 3(2 - u) = 1

⇔ 2u - 6 + 3u = 1 ⇔ 5u = 7 ⇔ u = $\frac{7}{5}$

Từ đó v = 2 - $\frac{7}{5}$ = $\frac{3}{5}$.

Suy ra hệ đã cho tương đương với:

$\{\begin{array}{c}\frac{1}{x-2}=\frac{7}{5}\\ \frac{1}{y-1}=\frac{3}{5}\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x-2=\frac{5}{7}\\ y-1=\frac{5}{3}\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x=\frac{5}{7}+2\\ y=\frac{5}{3}+1\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x=\frac{19}{7}\\ y=\frac{8}{3}\end{array}$

Bài 28 trang 22 sgk toán 9

Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.

Bài giải:

Gọi số lơn là x, số nhỏ là y.

Ta có: Tổng bằng 1006 nên được: x + y = 1006

Số lớn chia số nhỏ được thương là 2, số dư là 124 nên được:

x = 2y + 124

Điều kiện y > 124.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x+y=1006\\ x=2y+124\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x+y=1006\\ x-2y=124\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}x+y=1006\\ 3y=882\end{array}$⇔ $\{\begin{array}{c}x=1006-294\\ y=294\end{array}$⇔ $\{\begin{array}{c}x=712\\ y=294\end{array}$

Vậy hai số tự nhiên phải tìm là 712 và 294.

Bài 29 trang 22 sgk toán 9

Giải bài toán cổ sau:

   Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho mọt trăm người cùng vui.

   Chia ba mỗi quả quýt rồi

Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.

   Trăm người, trăm miếng ngọt lành.

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao ?

Bài giải:

Gọi số cam là x, số quýt là y. Điều kiện x, y là số nguyên dương.

Theo đề bài ta có hệ: $\{\begin{array}{c}x+y=17\\ 10x+3y=100\end{array}$

(1) ⇔ y = 17 - x (3)

Thế (3) vào (2): 10x + 3(17 - x) = 100

⇔ 10x + 51 - 3x = 100 ⇔ 7x = 49 ⇔ x = 7

Từ đó y = 17 - 7 = 10

Vậy có 7 quả cam và 10 quả quýt.

Bài 30 trang 22 sgk toán 9

Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với quy định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A.

Bài giải:

Gọi x (km) là độ dài quãng đường Ab, y (giờ) là thời gian dự định đi để đến B đúng lúc 12 giờ trưa. Điều kiện x > 0, y > 1 (do ôtô đến B sớm hơn 1 giờ).

Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 35km là  = y + 2.

Thời gian đi từ A và B với vận tốc 50km là  = y - 1.

Ta có hệ phương trình:  ⇔ 

Giải ra ta được: x = 350, y = 8.

Vậy quãng đường AB là 350km.

Thời điểm xuất phát của ô tô tại A là: 12 - 8 = 4 giờ.

Bài 31 trang 23 sgk toán 9

Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tang mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng them 36 cm², và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm²

Bài giải:

Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện x > 0, y > 0.

Tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tăng them 36 cm² nên ta được:

$\frac{(x+3)(y+3)}{2}$= $\frac{xy}{2}$ + 36

Một cạnh giảm 2 cm, cạnh kia giảm 4 cm thì diện tích của tam giác giảm 36 cm² nên ta được

$\frac{(x-2)(y-4)}{2}$ = $\frac{xy}{2}$ - 26

Ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}(x+3)(y+3)=xy+72\\ (x-2)(y-4)=xy-52\end{array}$

Giải ra ta được nghiệm x = 9; y = 12.

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 9 cm, 12 cm.

Bài 32 trang 23 sgk toán 9

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 

$4\frac{4}{5}$ giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở them vòi thứ hai thì sau $\frac{6}{5}$ giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ?

Bài giải:

Gọi x (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể (x > 0).

y (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể (y > 0).

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể.

Cả hai vòi cùng chảy thì bể đầy sau $4\frac{4}{5}$ giờ = $\frac{24}{5}$ giờ nên trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được $\frac{5}{24}$ bể.

Ta được: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{5}{24}$

Trong 9 giờ cả hai vòi chảy được $\frac{9}{x}$ bể.

Trong $\frac{6}{5}$ giờ cả hai vòi chảy được $\frac{6}{5}$( $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$) bể.

Bài 33 trang 24 sgk toán 9

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?

Bài giải:

Giả sử nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc  trong x giờ, người thứ hai trong y giờ. Điều kiện x > 0, y > 0.

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai $\frac{1}{y}$ công việc, cả hai người cùng làm chung thì được $\frac{1}{16}$ công việc.

Ta được $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{16}$.

Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được $\frac{3}{x}$ công việc, trong 6 giờ người thứ hai làm được $\frac{6}{y}$ công việc, cả hai người làm được 25% công việc hay $\frac{1}{4}$ công việc.

Ta được $\frac{3}{x}$ + $\frac{6}{y}$ = $\frac{1}{4}$

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\\ \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}\end{array}$.

Giải ra ta được x = 24, y = 48.

Vậy người thứ nhất 24 giờ, người thứ hai 48 giờ.

Bài 34 trang 24 sgk toán 9

Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp ?

Bài giải:
Gọi x là số luống rau, y là số cây của mỗi luống. Điều kiện x > 0, y > 0. Tăng 8 luống, mỗi luống ít hơn 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây, ta được:

(x + 8)(y - 3) = xy - 54

Giảm 4 luống mỗi luống tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn tăng 32 cây, nên ta được: (x - 4)(y + 2) = xy + 32

Ta được hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}(x+8)(y-3)=xy-54\\ (x-4)(y+2)=xy+32\end{array}$

Giải ra ta được: x = 50, y = 15

Số cây rau cải bắp nhà Lan trồng: 50 . 15 = 750 (cây)

Bài 35 trang 24 sgk toán 9

(Bài toán cổ Ấn Độ). Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rubi ?

Bài giải:

Gọi x (rupi) là giá tiền mỗi quả thanh yên.

Gọi y (rupi) là giá tiền mỗi quả táo rừng.

Điều kiện x > 0, y > 0.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}9x+8y=107\\ 7x+7y=91\end{array}$

Giải ra ta được x = 3, y = 10.

Vậy, thanh yên 3 rupi/quả; táo rừng 10 rupi/quả.

Bài 36 trang 24 sgk toán 9

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 10 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bi mờ không đọc được (đánh dấu *):

Điểm số của mỗi lần bắn	10	9	8	7	6
Số lần bắn	25	42	*	15	*

Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó.

Bài giải:

Gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y. Điều kiện x > 0, y > 0.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}25+42+x+15+y=100\\ 10.25+9.42+8.x+7.15+6.y=100.8,69\end{array}$

hay $\{\begin{array}{c}x+y=18\\ 8.x+6.y=136\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x=14\\ y=4\end{array}$

Vậy số thứ nhất là 14, số thứ hai là 4.

Bài 37 trang 24 sgk toán 9

Hai vật chuyển động đểu trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.

Bài giải:

Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là x (cm/s) và y (cm/s) (giả sử x > y > 0). Khi chuyển động cùng chiều, cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là quãng đường mà vật đi nhanh đi được trong 20 giây hơn quãng đường mà vật kia cũng đi trong 20 giây là đúng 1 vòng (= 20π cm). Ta có phương trình 20(x - y) = 20π. Khi chuyển động ngược chiều, cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đườnghai vật đi được trong 4 giây là đúng 1 vòng. Ta có phương trình 4(x + y) = 20π.

Hệ phương trình là: $\{\begin{array}{c}20(x-y)=20\Pi \\ 4(x+y)=20\Pi \end{array}$

Giải ra ta được $\{\begin{array}{c}x=3\Pi \\ y=2\Pi \end{array}$

Vậy vận tốc của hai vật là 3π cm/s, 2π cm/s.

Bài 38 trang 24 sgk toán 9

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 

$\frac{2}{15}$ bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ?

Bài giải:

Giả sử khi chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể trong x phút, vòi thứ hai trong y phút. Điều kiện x > 0, y > 0.

Ta có 1 giờ 20 phút = 80 phút.

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể, cả hai vòi cùng chảy được $\frac{1}{80}$ bể nên ta được $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{80}$.

Trong 10 phút vòi thứ nhất chảy được $\frac{10}{x}$ bể, trong 12 phút vòi thứ hai chảy được $\frac{12}{x}$ bể. Vì cả hai vòi cùng chảy được $\frac{2}{15}$ bể. Ta được:

$\frac{10}{x}$ + $\frac{12}{x}$ = $\frac{2}{15}$

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{80}\\ \frac{10}{x}+\frac{12}{y}=\frac{2}{15}\end{array}$

Giải ra ta được x = 120, y = 240.

Vậy nếu chảy một mình, để đầy bể vòi thứ nhất chảy trong 120 phút (2 giờ), vòi thứ hai 240 phút (4 giờ).

Bài 39 trang 25 sgk toán 9

Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ?

Bài giải:

Giả sử không kể thuế VAT, người đó phải trả x triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, y triệu đồng cho loại hàng thứ hai. Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất, (kể cả thuế VAT 10%) là $\frac{110}{100}x$ triệu đồng, cho loại hàng thứ hai, với thuế VAT 8% là $\frac{108}{100}y$ triệu đồng. Ta có phương trình

$\frac{110}{100}x$ + $\frac{108}{100}y$ = 2,17 hay 1,1x + 1,08y = 2,17

Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là: $\frac{109}{100}(x+y)$ = 2,18

hay 1,09x + 1,09y = 2,18.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}1,1x+1,08y=2,17\\ 1,09x+1,09y=2,18\end{array}$

Giải ra ta được: x = 0,5; y = 1,5

Vậy loại thứ nhất 0,5 triệu đồng, loại thứ hai 1,5 triều đồng.