Bài 20 trang 19 sgk toán 9

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

a) $\{\begin{array}{c}3x+y=3\\ 2x-y=7\end{array}$;              b) $\{\begin{array}{c}2x+5y=8\\ 2x-3y=0\end{array}$;         c) $\{\begin{array}{c}4x+3y=6\\ 2x+y=4\end{array}$;

d) $\{\begin{array}{c}2x+3y=-2\\ 3x-2y=-3\end{array}$;                      e) $\{\begin{array}{c}0,3x+0,5y=3\\ 1,5x-2y=1,5\end{array}$

Bài giải:

a) $\{\begin{array}{c}3x+y=3\\ 2x-y=7\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}5x=10\\ 2x-y=7\end{array}$$\iff$ $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=2x-7\end{array}$$\iff$ $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=-3\end{array}$

  b) $\{\begin{array}{c}2x+5y=8\\ 2x-3y=0\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}2x+5y=8\\ 8y=8\end{array}$$\iff$ $\{\begin{array}{c}2x+5y=8\\ y=1\end{array}$$\iff$ $\{\begin{array}{c}x=\frac{3}{2}\\ y=1\end{array}$

  c) $\{\begin{array}{c}4x+3y=6\\ 2x+y=4\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}4x+3y=6\\ 4x+2y=8\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}4x+3y=6\\ y=-2\end{array}$$\iff$ $\{\begin{array}{c}x=3\\ y=-2\end{array}$

d) $\{\begin{array}{c}2x+3y=-2\\ 3x-2y=-3\end{array}$ $\iff$$\{\begin{array}{c}6x-9y=-6\\ 6x-4y=-6\end{array}$$\iff$ $\{\begin{array}{c}6x-9y=-6\\ -5y=0\end{array}$$\iff$ $\{\begin{array}{c}x=-1\\ y=0\end{array}$

   e) $\{\begin{array}{c}0,3x+0,5y=3\\ 1,5x-2y=1,5\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}1,5x+2,5y=15\\ 1,5x-2y=1,5\end{array}$$\iff$ $\{\begin{array}{c}1,5x+2,5y=15\\ 4,5y=13,5\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}1,5x=15-2,5.3\\ y=3\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}1,5x=7,5\\ y=3\end{array}$

  $\iff$$\{\begin{array}{c}x=5\\ y=3\end{array}$

Bài 21 trang 19 sgk toán 9

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

a) $\{\begin{array}{c}x\sqrt{2}-3y=1\\ 2x+y\sqrt{2}=-2\end{array}$;            b) $\{\begin{array}{c}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2\end{array}$

Bài giải:

a) $\{\begin{array}{c}x\sqrt{2}-3y=1\\ 2x+y\sqrt{2}=-2\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}-2x+3\sqrt{2}.y=-\sqrt{2}\\ 2x+y\sqrt{2}=-2\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}4\sqrt{2}.y=-\sqrt{2}-2\\ 2x+y\sqrt{2}=-2\end{array}$⇔ $\{\begin{array}{c}x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}y\\ y=\frac{-1-\sqrt{2}}{4}\end{array}$⇔ $\{\begin{array}{c}x=-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{2}}{8}\\ y=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}$

b) Nhân phương trình thứ nhất với √2 rồi cộng từng vế hai phương trình ta được:

5x√6 + x√6 = 6 ⇔ x = $\frac{1}{\sqrt{6}}$

Từ đó hệ đã cho tương đương với $\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{\sqrt{6}}\\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{\sqrt{6}}\\ y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$

Bài 22 trang 19 sgk toán 9

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\{\begin{array}{c}-5x+2y=4\\ 6x-3y=-7\end{array}$;             b) $\{\begin{array}{c}2x-3y=11\\ -4x+6y=5\end{array}$;       

c) $\{\begin{array}{c}3x-2y=10\\ x-\frac{2}{3}y=3\frac{1}{3}\end{array}$

Bài giải:

a) $\{\begin{array}{c}-5x+2y=4\\ 6x-3y=-7\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}-15x+6y=12\\ 12x-6y=-14\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}-3x=2\\ -15x+6y=12\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}x=\frac{2}{3}\\ 6y=12+15.\frac{2}{3}\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x=\frac{2}{3}\\ 6y=22\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x=\frac{2}{3}\\ y=\frac{11}{3}\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}2x-3y=11\\ -4x+6y=5\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}4x-6y=22\\ -4x+6y=5\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}4x-6y=22\\ 4x-6y=-5\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}4x-6y=22\\ 0x-0y=27\end{array}$

Hệ phương trình vô nghiệm.

c) $\{\begin{array}{c}3x-2y=10\\ x-\frac{2}{3}y=3\frac{1}{3}\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}3x-2y=10\\ 3x-2y=3.\frac{10}{3}\end{array}$  ⇔ $\{\begin{array}{c}3x-2y=10\\ 3x-2y=10\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}x\in R\\ 2y=3x-10\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x\in R\\ y=\frac{3}{2}x-5\end{array}$

Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Bài 23 trang 19 sgk toán 9 

Giải hệ phương trình sau:

$\{\begin{array}{c}(1+\sqrt{2}x)+(1-\sqrt{2})y=5\\ (1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})y=3\end{array}$

Bài giải:

Ta có:

$\{\begin{array}{c}(1+\sqrt{2}x)+(1-\sqrt{2})y=5\\ (1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})y=3\end{array}$

Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) ta được:

(1 - √2)y - (1 + √2)y = 2

⇔ (1 - √2 - 1 - √2)y = 2 ⇔ -2y√2 = 2

⇔ y = $\frac{-2}{2\sqrt{2}}$ ⇔ y = $\frac{-1}{\sqrt{2}}$ ⇔ y = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$   (3)

Thay (3) vào (1) ta được:

⇔ (1 + √2)x + (1 - √2)$\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)$ = 5

⇔ (1 + √2)x + $\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)$ + 1 = 5

⇔ (1 + √2)x  = $\frac{8+\sqrt{2}}{2}$ ⇔ x = $\frac{8+\sqrt{2}}{2(1+\sqrt{2})}$

⇔ x =  $\frac{(8+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{2(1-2)}$⇔ x = $\frac{8-8\sqrt{2}+\sqrt{2}-2}{-2}$

⇔ x = $-\frac{6-7\sqrt{2}}{2}$ ⇔ x = $\frac{-6+7\sqrt{2}}{2}$

Hệ có nghiệm là:

$\{\begin{array}{c}x=\frac{-6+7\sqrt{2}}{2}\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Nghiệm gần đúng (chính xác đến ba chữ số thập phân) là: $\{\begin{array}{c}x\approx 1,950\\ y\approx -0,707\end{array}$

Bài 24 trang 19 sgk toán 9 

Giải hệ các phương trình:

a) $\{\begin{array}{c}2(x+y)+3(x-y)=4\\ (x+y)+2(x-y)=5\end{array}$;         

b) $\{\begin{array}{c}2(x-2)+3(1+y)=-2\\ 3(x-2)-2(1+y)=-3\end{array}$

Bài giải:

a) Đặt x + y = u, x - y = v, ta có hệ phương trình (ẩn u, v):

$\{\begin{array}{c}2u+3v=4\\ u+2v=5\end{array}$

nên

$\{\begin{array}{c}2u+3v=4\\ u+2v=5\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}2u+3v=4\\ 2u+4v=10\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}2u+3v=4\\ -v=-6\end{array}$⇔ $\{\begin{array}{c}2u+3v=4\\ v=6\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}2u=4-3.6\\ v=6\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}u=-7\\ v=6\end{array}$

Suy ra hệ đã cho tương đương với:

$\{\begin{array}{c}x+y=-7\\ x-y=6\end{array}$⇔ $\{\begin{array}{c}2x=-1\\ x-y=6\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x=-\frac{1}{2}\\ y=-\frac{13}{2}\end{array}$

b) Thu gọn vế trái của hai phương trình:$\{\begin{array}{c}2(x-2)+3(1+y)=-2\\ 3(x-2)-2(1+y)=-3\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}2x-4+3+3y=-2\\ 3x-6-2-2y=-3\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}2x+3y=-1\\ 3x-2y=5\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}6x+9y=-3\\ 6x-4y=10\end{array}$

⇔$\{\begin{array}{c}6x+9y=-3\\ 13y=-13\end{array}$⇔ $\{\begin{array}{c}6x=-3-9y\\ y=-1\end{array}$⇔ $\{\begin{array}{c}6x=6\\ y=-1\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x=1\\ y=-1\end{array}$

Bài 25 trang 19 sgk toán 9

Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0:

P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n -10).

Bài giải:

Ta có P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n -10)

Nếu P(x) = 0 ⇔ $\{\begin{array}{c}3m-5n+1=0\\ 4m-n-10=0\end{array}$ ⇔  $\{\begin{array}{c}3m-5n=-1\\ 4m-n=10\end{array}$⇔ $\{\begin{array}{c}3m-5n=-1\\ 20m-5n=50\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}-17m=-51\\ 4m-n=10\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}m=3\\ -n=10-4.3\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}m=3\\ n=2\end{array}$

Bài 26 trang 19 sgk toán 9

Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(2; -2) và B(-1; 3);                            b) A(-4; -2) và B(2; 1);

c) A(3; -1) và B(-3; 2);                            d) A(√3; 2) và B(0; 2).

Bài giải:

a) Vì A(2; -2) thuộc đồ thì nên 2a + b = -2.

Vì B(-1; 3) thuộc đồ thì nên -a + b = 3. Ta có hệ phương trình ẩn là a và b.

$\{\begin{array}{c}2a+b=-2\\ -a+b=3\end{array}$. Từ đó $\{\begin{array}{c}a=-\frac{5}{3}\\ b=\frac{4}{3}\end{array}$

b) Vì A(-4; -2) thuộc đồ thị nên -4a + b = -2.

Vì B(2; 1) thuộc đồ thị nên 2a + b = 1.

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b: $\{\begin{array}{c}-4a+b=-2\\ 2a+b=1\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}-6a=-3\\ 2a+b=1\end{array}$ 

⇔ $\{\begin{array}{c}a=\frac{1}{2}\\ b=0\end{array}$

c) Vì A(3; -1) thuộc đồ thị nên 3a + b = -1

Vì B(-3; 2) thuộc đồ thị nên -3a + b = 2.

Ta có hệ phương trình ẩn a, b:

$\{\begin{array}{c}3a+b=-1\\ -3a+b=2\end{array}$  ⇔ $\{\begin{array}{c}3a+b=-1\\ 2b=1\end{array}$⇔ $\{\begin{array}{c}a=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{2}\end{array}$

d) Vì A(√3; 2) thuộc đồ thị nên √3a + b = 2.

Vì B(0; 2) thuộc đồ thị nên 0 . a + b = 2.

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b.

$\{\begin{array}{c}\sqrt{3}.a+b=2\\ 0.a+b=2\end{array}$⇔ $\{\begin{array}{c}\sqrt{3}.a+b=2\\ b=2\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}a=0\\ b=2\end{array}$