Bài 12 trang 15 sgk toán 9 

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\{\begin{array}{c}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}$;              b) $\{\begin{array}{c}7x-3y=5\\ 4x+y=2\end{array}$;          c) $\{\begin{array}{c}x+3y=-2\\ 5x-4y=11\end{array}$

Bài giải:

Từ x - y = 3 => x = 3 + y.

Thay x = 3 + y vào phương trình 3x - 4y = 2.

Ta được 3(3 + y) - 4y = 2 ⇔ 9 + 3y - 4y = 2.

                                      ⇔ -y = -7 ⇔ y = 7

Thay y = 7 vào x = 3 + y ta được x = 3 + 7 = 10.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (10; 7).

b) Từ 4x + y = 2 => y = 2 - 4x.

Thay y = 2 - 4x vào phương trình 7x - 3y = 5.

Ta được 7x - 3(2 - 4x) = 5 ⇔ 7x - 6 + 12x = 5.

                                       ⇔ 19x = 11 ⇔ x = $\frac{11}{19}$

Thay x = $\frac{11}{19}$ vào y = 2 - 4x ta được y = 2 - 4 . $\frac{11}{19}$ = 2 - $\frac{44}{19}$ = -$\frac{6}{19}$

Hệ phương trình có nghiệm ($\frac{11}{19}$; -$\frac{6}{19}$)

c) Từ x + 3y = -2 => x = -2 - 3y.

Thay vào 5x - 4y = 11 ta được 5(-2 - 3y) - 4y = 11

                                             ⇔ -10 - 15y - 4y = 11

                                             ⇔ -19y = 21 ⇔ y = -$\frac{21}{19}$

Nên x = -2 -3(-$\frac{21}{19}$) = -2 + $\frac{63}{19}$ = $\frac{25}{19}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm ($\frac{25}{19}$; -$\frac{21}{19}$).

Bài 13 trang 15 sgk toán 9

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\{\begin{array}{c}3x-2y=11\\ 4x-5y=3\end{array}$;               b) $\{\begin{array}{c}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1\\ 5x-8y=3\end{array}$

Bài giải:

a) Từ phương trình thứ nhất ta có  y = $\frac{3x-11}{2}$. Thế vào y trong phương trình thứ hai:

4x - 5$\frac{3x-11}{2}$ = 3 ⇔ -7x = -49 ⇔ x = 7.

Từ đó y = 5. Nghiệm của hệ phương trình đã cho là (7; 5)

b) Từ phương trình thứ nhất ta có: x = $\frac{2y+6}{3}$

Thế vào x trong phương trình thứ hai:

5 . $\frac{2y+6}{3}$ - 8y = 3 ⇔ -14y = -21 ⇔ y = $\frac{3}{2}$

Từ đó: x = $\frac{2.\frac{3}{2}+6}{3}$ = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm (3; $\frac{3}{2}$).

Bài 14 trang 15 sgk toán 9 

Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:

a) $\{\begin{array}{c}x+y\sqrt{5}=0\\ x\sqrt{5}+3y=1-\sqrt{5}\end{array}$;          b) $\{\begin{array}{c}(2-\sqrt{3})x-3y=2+5\sqrt{3}\\ 4x+y=4-2\sqrt{3}\end{array}$

Bài giải:

a) Từ phương trình thứ nhất ta có x = -y$\sqrt{5}$.

Thế vào x trong phương trình thứ hai ta được:

-y$\sqrt{5}$ . $\sqrt{5}$ + 3y = 1 - $\sqrt{5}$ ⇔ -2y = 1 - $\sqrt{5}$

                                           ⇔ y = $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Từ đó: x - $\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ . $\sqrt{5}$ = $\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x, y) = $(\frac{-5+\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2})$

b) Từ phương trình thứ hai ta có y = 4 - 2$\sqrt{3}$ - 4x.

Thế vào y trong phương trình thứ hai được

(2 - $\sqrt{3}$)x - 3(4 - 2$\sqrt{3}$ - 4x) = 2 + 5$\sqrt{3}$

⇔ (14 - $\sqrt{3}$)x = 14 - $\sqrt{3}$ ⇔ x = 1

Từ đó y = 4 - 2$\sqrt{3}$ - 4 . 1 = -2$\sqrt{3}$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm:

(x; y) = (1; -2$\sqrt{3}$)

Bài 15 trang 15 sgk toán 9

Giải hệ phương trình 

$\{\begin{array}{c}x+3y=1\\ (a^2+1)x+6y=2a\end{array}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) a = -1;             b) a = 0;              c) a = 1.

Bài giải:

a) Khi a = -1, ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+3y=1\\ 2x+6y=-2\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x+3y=1\\ x+3y=-1\end{array}$

Hệ phương trình vô nghiệm.

b) Khi a = 0, ta có hệ $\{\begin{array}{c}x+3y=1\\ x+6y=0\end{array}$

Từ phương trình thứ nhất ta có x = 1 - 3y.

Thế vào x trong phương trình thứ hai, được:

1 - 3y + 6y = 0 ⇔ 3y = -1 ⇔ y = -$\frac{1}{3}$

Từ đó x = 1 - 3(-$\frac{1}{3}$) = 2

Hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; -$\frac{1}{3}$).

c) Khi a = 1, ta có hệ $\{\begin{array}{c}x+3y=1\\ 2x+6y=2\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x+3y=1\\ x+3y=1\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}x=1-3y\\ y\in R\end{array}$

Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Bài 16 trang 16 sgk toán 9

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.

a) $\{\begin{array}{c}3x-y=5\\ 5x+2y=23\end{array}$;         b) $\{\begin{array}{c}3x+5y=1\\ 2x-y=-8\end{array}$;      c) $\{\begin{array}{c}\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\\ x+y-10=0\end{array}$

Bài giải:

a) $\{\begin{array}{c}3x-y=5\\ 5x+2y=23\end{array}$

Từ phương trình (1) ⇔ y = 3x - 5       (3)

Thế (3) vào phương trình (2): 5x + 2(3x - 5) = 23

⇔ 5x + 6x - 10 = 23 ⇔ 11x = 33 ⇔x = 3

Từ đó y = 3 . 3 - 5 = 4.

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 4).

b) $\{\begin{array}{c}3x+5y=1\\ 2x-y=-8\end{array}$

Từ phương trình (2) ⇔ y = 3x + 8           (3)

Thế (3) vào (1): 3x + 5(2x + 8) = 1 ⇔ 3x + 10x + 40 = 1 ⇔ 13x = -39

                                                                                    ⇔ x = -3

Từ đó y = 2(-3) + 8 = 2.

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (-3; 2).

c) $\{\begin{array}{c}\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\\ x+y-10=0\end{array}$

Phương trình (1) ⇔ x = $\frac{2}{3}$y         (3)

Thế (3) vào (2): $\frac{2}{3}$y + y = 10 ⇔ $\frac{5}{3}$y = 10

                                           ⇔ y = 6.

Từ đó x = $\frac{2}{3}$ . 6 = 4.

Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (4; 6).

Bài 17 trang 16 sgk toán 9

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.

a) $\{\begin{array}{c}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2}\end{array}$;                  b) $\{\begin{array}{c}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5}\\ x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}(\sqrt{2}-1)x-y=\sqrt{2}\\ x+(\sqrt{2}+1)y=1\end{array}$

Bài giải:
a) $\{\begin{array}{c}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2}\end{array}$

Từ phương trình (2) ⇔ x = √2 - y√3 (3)

Thế  (3) vào (1): ( √2 - y√3)√2 - y√3 = 1

                           ⇔ √3y(√2  + 1) = 1 ⇔ y = $\frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)}$ = $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}$

Từ đó x = √2 - $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}$. √3 = 1.

Vậy có nghiệm (x; y) = (1; $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}$)

b) $\{\begin{array}{c}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5}\\ x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}\end{array}$

Từ phương trình (2) ⇔ y = 1 - √10 - x√2   (3)

Thế (3) vào (1): x - 2√2(1 - √10 - x√2) = √5

⇔ 5x = 2√2 - 3√5 ⇔ x = $\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}$

Từ đó y = 1 - √10 - $\left(\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}\right)$. √2 = $\frac{1-2\sqrt{10}}{5}$

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = $(\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5};\frac{1-2\sqrt{10}}{5})$;

c) $\{\begin{array}{c}(\sqrt{2}-1)x-y=\sqrt{2}\\ x+(\sqrt{2}+1)y=1\end{array}$

Từ phương trình (2) ⇔ x = 1 - (√2 + 1)y  (3)

Thế (3) vào (1): (√2 - 1)[1 - (√2 + 1)y] - y = √2 ⇔ -2y = 1 ⇔ y = -$\frac{1}{2}$

Từ đó x = 1 - (√2 + 1)(-$\frac{1}{2}$) = $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = ($\frac{3+\sqrt{2}}{2}$; -$\frac{1}{2}$)

Bài 18 trang 16 sgk toán 9

a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình

$\{\begin{array}{c}2x+by=4\\ bx-ay=-5\end{array}$

Có nghiệm là (1; -2)

b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là (√2 - 1; √2).

Bài giải:

a) Hệ phương trình có nghiệm là (1; -2) có nghĩa là xảy ra

$\{\begin{array}{c}2-2b=-4\\ b+2a=-5\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}2b=6\\ b+2a=-5\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}b=3\\ 2a=-5-3\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}b=3\\ a=-4\end{array}$

b) Hệ phương trình có nghiệm là (√2 - 1; √2), có nghĩa là xảy ta

$\{\begin{array}{c}2(\sqrt{2}-1)+b\sqrt{2}=-4\\ (\sqrt{2}-1)b-a\sqrt{2}=-5\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}b\sqrt{2}=-2-2\sqrt{2}\\ (\sqrt{2}-1)b-a\sqrt{2}=-5\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}b=-(2+2\sqrt{2})\\ a\sqrt{2}=-(2+2\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)+5\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}b=-(2+2\sqrt{2})\\ a\sqrt{2}=-\sqrt{2}+5\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}a=\frac{-2+5\sqrt{2}}{2}\\ b=-(2+\sqrt{2})\end{array}$

Bài 19 trang 16 sgk toán 9

Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x - a khi và chỉ khi P(a) = 0.

Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và  x - 3:

P(x) = mx³ + (m – 2)x² – (3n – 5)x – 4n.

Bài giải:

P(x) chia hết cho x + 1 ⇔ P(-1) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0.

P(x) chia hết cho x - 3 ⇔ P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.

$\{\begin{array}{c}-7-n=0\\ 36m-13m=3\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}n=-7\\ 36m=3+13(-7)\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}n=-7\\ 36m=-88\end{array}$ 

⇔  $\{\begin{array}{c}n=-7\\ m=\frac{-22}{9}\end{array}$