Bài 44 trang 45 sgk toán 7 - tập 2

Cho hai đa thức: P(x) = -5x³ - 

$\frac{1}{3}$ + 8x⁴ + x² 
và Q(x) = x² – 5x – 2x³ + x⁴ - $\frac{2}{3}$.

Hãy tính P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x).

Hướng dẫn giải:

Ta có: P(x) = -5x³ - $\frac{1}{3}$ + 8x⁴ + x²  và Q(x) = x² – 5x – 2x³ + x⁴ - $\frac{2}{3}$.

Ta sắp xếp hai đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến như sau:

Bài 45 trang 45 sgk toán 7 - tập 2

Cho đa thức P(x) = x⁴ - 3x² + 

$\frac{1}{2}$ – x.

Tìm các đa thức Q(x), R(x), sao cho:

a) P(x) + Q(x) = x⁵ – 2x² + 1.

b) P(x) – R(x) = x³.    

Hướng dẫn giải:

Ta có: P(x) = x⁴ - 3x² + $\frac{1}{2}$ – x. 

a) Vì P(x) + Q(x) = x⁵ – 2x² + 1 nên

Q(x) = x⁵ – 2x² + 1 - P(x)

Q(x) = x⁵ – 2x² + 1 - x⁴ + 3x² - $\frac{1}{2}$ + x

Q(x) = x⁵ - x⁴ + x² + x + $\frac{1}{2}$

b) Vì P(x) - R(x) = x³ nên

R(x) = x⁴ - 3x² + $\frac{1}{2}$ – x - x³

hay R(x) = x⁴ - x³ - 3x² – x + $\frac{1}{2}$.

Bài 46 trang 45 sgk toán 7 - tập 2

Viết đa thức P(x) = 5x³ – 4x² + 7x - 2 dưới dạng:

a) Tổng của hai đa thức một biến.

b) Hiệu của hai đa thức một biến.

Bạn Vinh nêu nhận xét: "Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc 4". Đúng hay sai ? Vì sao ?

Hướng dẫn giải:

Viết đa thức P(x) = 5x³ – 4x² + 7x - 2 dưới dạng:

a) Tổng của hai đa thức một biến.

5x³ – 4x² + 7x - 2 = (5x³ – 4x²) + (7x - 2)

b) Hiệu của hai đa thức một biến.

5x³ – 4x² + 7x - 2 = (5x³ + 7x) - (4x² + 2)

Chú ý: Đáp số ở câu a; b không duy nhất, các bạn có thể tìm thêm đa thúc khác.

Bạn Vinh nói đúng: Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thúc bậc 4 chẳng hạn như:

5x³ – 4x² + 7x - 2 = (2x⁴ + 5x³ + 7x) + (– 2x⁴ – 4x² - 2).

Bài 47 trang 45 sgk toán 7 - tập 2

Cho các đa thức:

P(x) = 2x⁴ –x - 2x³ + 1

Q(x) = 5x² – x³ + 4x 

H(x) = -2x⁴ + x² + 5.

Tính P(x) + Q(x) + H(x) và P(x) - Q(x) - H(x).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

P(x) = 2x⁴ –x - 2x³ + 1

Q(x) = 5x² – x³ + 4x 

H(x) = -2x⁴ + x² + 5.

Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần rồi xếp các số hạng đồng dạng theo cùng cột dọc ta được:

.

Bài 48 trang 46 sgk toán 7 - tập 2

Chọn đa thức mà em cho là kết quả đúng:

(2x³ - 2x + 1) - (3x² + 4x - 1) = ?

Hướng dẫn giải:

(2x³ - 2x + 1) - (3x² + 4x - 1) = 2x³ - 3x² - 6x + 2.

Vậy chọn đa thức thứ hai.

Bài 49 trang 46 sgk toán 7 - tập 2

Hãy tìm bậc của mỗi đa thức sau:

M = x² - 2xy + 5x² - 1

N = x²y² - y² + 5x² - 3x²y +  5.

a) Thu gọn các đa thức trên.

b) Tính N + M và N - M.

Hướng dẫn giải:

a) Đa thức M = x² - 2xy + 5x² - 1 = 6x² - 2xy - 1 có bậc 2.

Đa thức N = x²y² - y² + 5x² - 3x²y +  5 có bậc 4.

b) N + M = x2y2 – y2 + 11x2 – 3x2y + 4 – 2xy

Bài 50 trang 46 sgk toán 7 - tập 2

Cho các đa thức:

N = 15y³ + 5y² - y⁵ - 5y² - 4y³ - 2y

M = y² + y³ -3y + 1 - y² + y⁵ -  y³ + 7y⁵.

a) Thu gọn các đa thức trên.

b) Tính N + M và N - M.

Hướng dẫn giải:

a) Thu gọn các đa thức:

N = 15y³ + 5y² - y⁵ - 5y² - 4y³ - 2y = -y⁵ + 11y³ - 2y

M = y² + y³ -3y + 1 - y² + y⁵ -  y³ + 7y⁵ = 8y⁵ - 3y + 1.

b) N + M = -y⁵ + 11y³ - 2y + 8y⁵ - 3y + 1

             = 7y⁵ + 11y³ - 5y + 1

N - M = -y⁵ + 11y³ - 2y - 8y⁵ + 3y - 1= -9y⁵ + 11y³ + y - 1.

Bài 51 trang 46 sgk toán 7 - tập 2

Cho hai đa thức:

P(x) = 3x² - 5 + x⁴ - 3x³ - x⁶ - 2x² - x³; 

Q(x) = x³ + 2x⁵ - x⁴ + x² - 2x³ + x - 1.

a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa tăng của biến.

b) Tính P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x).

Hướng dẫn giải:

a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa tăng của biến.

Thu gọn: P(x) = 3x² - 5 + x⁴ - 3x³ - x⁶ - 2x² - x³ 

                     = x² - 5 + x⁴ - 4x³ - x⁶ 

Sắp xếp: P(x) = -5 + x² - 4x³ + x⁴ - x⁶ 

Thu gọn: Q(x) = x³ + 2x⁵ - x⁴ + x² - 2x³ + x - 1= -x³ +2x⁵ - x⁴ + x² + x - 1

Sắp xếp: Q(x) = -1 + x + x² - x³ - x⁴ + 2x⁵ 

b) Ta có:

.

Bài 52 trang 46 sgk toán 7 - tập 2

Tính giá trị của đa thức P(x) = x² - 2x - 8 tại: x = -1; x = 0 và x = 4.

Hướng dẫn giải:

Ta có  P(x) = x² - 2x - 8

=> P(-1) = (-1)² - 2 (-1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5.

     P(0) = 0² - 2.0 - 8 = -8.

     P(4) = 4² - 2.4 - 8 = 16 - 8 - 8 = 0.

Bài 53 trang 46 sgk toán 7 - tập 2

Cho các đa thức:

P(x) = x⁵ - 2x⁴ + x² - x + 1

Q(x) = 6 -2x + 3x³ + x⁴ -  3x⁵ .

Tính P(x) - Q(x) và Q(x) - P(x). Có nhận xét gì về các hệ số của hai đa thức tìm được ?

Hướng dẫn giải:

 

Nhận xét: Các hệ số tương ứng của hai đa thức tìm được đối nhau.

Chú ý: Ta gọi 2 đa thức có các hệ số tương ứng đối nhau là đa thức đối nhau.