a) $\frac{-1}{4}.\frac{1}{3}$ ;                         b) $\frac{-2}{5}.\frac{5}{-9}$ ;                             c) $\frac{-3}{4}.\frac{16}{7}$ ;

d) $\frac{-8}{3}.\frac{15}{24}$ ;                       e) $(-5).\frac{8}{15}$ ;                            g) $\frac{-9}{11}.\frac{5}{18}$ .

Hướng dẫn giải.

a) $\frac{-1}{12}$ ;     b) $\frac{2}{9}$ ;      c) $\frac{-12}{17}$ ;        d) $\frac{-5}{3}$ ;         e) $\frac{-8}{3}$ ;          g) $\frac{-5}{22}$.

$\frac{6}{35}$ có thể được viết dưới dạng tích của hai phân số có tử và mẫu số là số nguyên dương có một chữ số.

Chẳng hạn:   $\frac{6}{35}=\frac{2}{5}.\frac{3}{7}$. Hãy tìm cách viết khác.

Hướng dẫn giải.

Ta có : 6 = 1 . 6 = 2 . 3; 35 = 5 . 7

Do đó ta có ba cách phân tích khác sau đây:

                 $\frac{6}{35}=\frac{1}{5}.\frac{6}{7}$ ;         $\frac{6}{35}=\frac{6}{5}.\frac{1}{7}$ ;          $\frac{6}{35}=\frac{2}{7}.\frac{3}{5}$.

a) $x-\frac{1}{4}=\frac{5}{8}.\frac{2}{3}$ ;                       b) $\frac{x}{126}=\frac{-5}{9}.\frac{4}{7}$ ;

Hướng dẫn giải.

a) 

$\begin{array}{c}x-\frac{1}{4}=\frac{5}{8}.\frac{2}{3}\\ x-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}\\ x=\frac{5}{12}+\frac{1}{4}\\ x=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\end{array}$

b) 

$\begin{array}{c}\frac{x}{126}=\frac{-5}{9}.\frac{4}{7}\\ \frac{x}{126}=\frac{-20}{63}\\ 63.x=-20.126\\ x=\frac{-20.126}{63}\\ x=-40\end{array}$

Chẳng hạn : Cặp phân số $\frac{7}{3}$$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">7</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">3</span>}}$ và $\frac{7}{4}$$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">7</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">4</span>}}$ có :

                  $\frac{7}{3}.\frac{7}{4}=\frac{7.7}{3.4}=\frac{49}{12}$$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">7</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; small;">.</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">7</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">4</span>}}<span\; style="font-size:\; small;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">7.7</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">3.4</span>}}<span\; style="font-size:\; small;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">49</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">12</span>}}$

                  $\frac{7}{3}+\frac{7}{4}=\frac{7.4+7.3}{3.4}=\frac{49}{12}$$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">7</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; small;">+</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">7</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">4</span>}}<span\; style="font-size:\; small;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">7.4</span>}<span\; style="font-size:\; small;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">7.3</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">3.4</span>}}<span\; style="font-size:\; small;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">49</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">12</span>}}$.

Đố em tìm được một cặp phân số khác cũng có tính chất ấy.

Hướng dẫn giải.

Giả sử ta chọn hai phân số có cùng tử: $\frac{a}{x}$ và $\frac{a}{y}$.

Ta muốn có  $\frac{a}{x}.\frac{a}{y}=\frac{a}{x}+\frac{a}{y}=\frac{ay+ax}{xy}=\frac{a(x+y)}{xy}$ .

Thế thì a . a = a.(x + y). Từ đó suy ra x + y = a.

Vì vậy với mỗi a > 1 cho trước ta có thể chọn x và y sao cho x + y = a.

Chẳng hạn với a = 11, x = 5, y = 6 ta có:

                 $\frac{11}{5}+\frac{11}{6}=\frac{11.6+11.5}{5.6}=\frac{121}{30}.$

Mặt khác, $\frac{11}{5}.\frac{11}{6}=\frac{11.11}{30}=\frac{121}{30}.$ Vậy $\frac{11}{5}.\frac{11}{6}=\frac{11}{5}+\frac{11}{6}$.

Như vậy ta có thể tìm được vô số cặp phân số mà tổng và tích của chúng bằng nhau.