Bài 56 trang 92 sgk toán 8

Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau:

a)AB = 5cm, CD = 15 cm;

b)AB = 45 dm, CD = 150 cm;

c)AB = 5CD.

Giải

a)AB  = 5cm và CD = 15cm =>$\frac{AB}{CD}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$

b)AB = 45dm = 450cm và CD = 150 cm

=>$\frac{AB}{CD}=\frac{450}{150}=3$

c)AB = 5CD =>$\frac{AB}{CD}=5$

Bài 57 trang 92 sgk toán 8

Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H, D, M.

Giải

 

+Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M.

+Chứng minh: AD là đường phân giác của ∆ABC.

=>$\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}$  AB < AC

=>DB < DC => DB + DC < DC + DC

=>BD + DC < 2DC hay BC < 2DC => DC >$\frac{BC}{2}$

Mà $MC=\frac{BC}{2}$ (M là trung điểm của BC)

=>DC > MC =>M nằm giữa D và C (1)

+Mặt khác: $\widehat{CAH}={90}^0-\hat{C}$ (∆CAH vuông tại H)

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^0$ (tổng 3 góc ∆ABC)

=>$\widehat{CAH}=\frac{\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}}{2}-\hat{C}$

=>$\widehat{CAH}=\frac{\hat{A}}{2}+\frac{\hat{B}}{2}-\frac{\hat{C}}{2}=\frac{\hat{A}}{2}+\frac{\hat{B}-\hat{C}}{2}$

Vì AB < AC =>$\hat{C}<\hat{B}\Rightarrow \hat{B}-\hat{C}>0$

Do đó: $\widehat{CAH}>\frac{\hat{A}}{2}$ hay $\widehat{CAH}>\widehat{CAD}$

=>Tia AD nằm giữa hai tia AH và AC =>D nằm giữa hai điểm H và C (2)

Từ (1) và (2) => D nằm giữa H và M.

Bài 58 trang 92 sgk toán 8

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (H.66).

a)Chứng minh BK = CH.

b)Chứng minh KH//BC.

c)Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.

Hướng dẫn câu c):

-Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.

-Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.

 

Giải

 

a)Xét hai tam giác vuông BKC và CHB có:

$\widehat{KBC}=\widehat{HCB}$ (∆ABC cân tại A)

BC là cạnh chung

=>∆BKC = ∆CHB

=>BK = CH

b)Ta có : AB = AC (∆ABC cân tại A)

BK = CH (∆BKC = ∆CHB) => AK = AH

Do đó : $\frac{AK}{AB}=\frac{AH}{AC}$ =>KH // BC (định lí Ta lét đảo)

c)BH cắt CK tại M =>M là trực tâm của ∆ABC

=>AM ⊥ BC tại I.

Ta có : ∆AIC ∽ ∆BHC vì $\{\begin{array}{c}\hat{I}=\hat{H}={90}^0\\ \hat{C}chung\end{array}$

=>$\frac{IC}{HC}=\frac{AC}{BC}hay\frac{\frac{a}{2}}{HC}=\frac{b}{a}=>HC=\frac{a^2}{2b}$

=>$AH=b-\frac{a^2}{2b}=\frac{2b^2-a^2}{2b}$

Mà HK // BC => $\frac{HK}{BC}=\frac{AH}{AC}=>HK=\frac{BC.AH}{AC}$

=>$HK=\frac{a}{b}\left(\frac{2b^2-a^2}{2b}\right)=\frac{2a{b}^2-a^2}{2b^2}$

Bài 59 trang 92 sgk toán 8

Hình thang ABCD (AB//CD) có AC và BD cắt nhau tại O, AD và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.

Giải

 

Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt tại E, F.

Ta có: OE = OF (xem cách chứng minh ở bài tập 20)

Do đó: $\frac{AN}{EO}=\frac{KN}{KO}$ (AN // EO)

Mà $\frac{BN}{OF}=\frac{KN}{KO}$ (BN // OF)

=>$\frac{AN}{EO}=\frac{BN}{FO}$ Mà OE = OF

=>AN = BN hay N là trung điểm của AB.

Chứng minh tương tự: $\frac{DM}{OE}=\frac{CM}{OF}=>MD=MC$

=>M là trung điểm của CD.

Bài 60 trang 92 sgk toán 8

Cho tam giác vuông ABC,  và đường phân giác BD (D thuộc cạnh AC).

a)Tính tỉ số .

b)Cho biết độ dài AB = 12,5 cm, hãy tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

Giải

 

a)Tam giác BCA vuông tại A có  nên là một nửa tam giác đều

=>$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$

Vì BD là đường phân giác của ∆ABC nên: $\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}$

b)∆ABC vuông tại A nên AC² = BC² – AB², BC = 2AB

=>AC² = 4AB² – AB² = 3AB²

=>AC=$\sqrt{3A{B}^2}=AB\sqrt{3}=12,5\sqrt{3}\approx 21,65\left(cm\right)$

Gọi p là chu vi ∆ABC =>p = AB + BC + CA

=>p = 3AB + AC = 3.12,5 + 12,5$\sqrt{3}$

=>p = 12,5 (3+$\sqrt{3})\approx 59,15\left(cm\right)$

Và $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\approx 135,31\left(c{m}^2\right)$

Bài 61 trang 92 sgk toán 8 

Tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 20 cm, CD = 25 cm, DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm.

a)Nêu cách vẽ tứ giác ABCD có kích thước đã cho ở trên.

b)Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

c)Chứng minh rằng AB // CD.

Giải

a)Vẽ ∆DBC biết BD = 10 cm, BC = 20 cm, DC = 25 cm.

Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ hai cung tròn tâm B và tâm D bán kính lần lượt là 4 cm và 8 cm. Hai cung này cắt nhau tại A.

Vẽ các đoạn BA, DA được tứ giác ABCD.

b)Ta có: $\frac{AB}{BD}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5};\frac{BD}{DC}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5};\frac{AD}{BC}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$

=>$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}=\frac{AD}{BC}=>\Delta ABD\Delta BDC$

c)∆ABD∽ ∆BDC =>$\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ lại so le trong.

=>AB // DC hay ABCD là hình thang.