Bài 6 trang 62 - Sách giáo khoa toán 8

Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình 13 và giải thích vì sao chúng song song.

Giải:

Trên hình 13a ta có:

$\frac{AP}{PB}$ = $\frac{3}{8}$; $\frac{AM}{MC}$= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$ vì $\frac{3}{8}$ ≠ $\frac{1}{3}$ nên $\frac{AP}{PB}$ ≠ $\frac{AM}{MC}$ => PM và MC không song song.

Ta có $\begin{array}{c}\frac{CN}{NB}=\frac{21}{7}=3\\ \frac{CM}{MA}=\frac{15}{5}=3\end{array}\}=>\frac{CM}{MA}=\frac{CN}{NB}$ => MN//AB

Trong hình 13b 

Ta có: $\frac{O{A}^{\prime }}{A^{\prime }A}$ = $\frac{2}{3}$; $\frac{O{B}^{\prime }}{B^{\prime }B}$ = $\frac{3}{4,5}$ = $\frac{2}{3}$ 

=> $\frac{O{A}^{\prime }}{A^{\prime }A}$ =  $\frac{O{B}^{\prime }}{B^{\prime }B}$ => A'B' // AB   (1)

Mà $\widehat{B"A"O}$ = $\widehat{O{A}^{\prime }{B}^{\prime }}$ lại so le trong

Suy ra A"B" // A'B' (2)

Từ 1 và 2 suy ra AB // A'B' // A"B"

Bài 7 trang 62 - Sách giáo khoa toán 8

Tính các độ dài x,y trong hình 14.

Giải:

* Trong hình 14a

MN // EF => $\frac{MN}{EF}$ = $\frac{MD}{DE}$

mà DE = MD + ME = 9.5 + 28 = 37.5

Nên $\frac{8}{x}$ = $\frac{9,5}{37,5}$ => x= $\frac{\mathrm{8.37.5}}{9.5}$ = $\frac{600}{19}$  ≈ 31,6

* Trong hình 14b

Ta có A'B' ⊥ AA'(gt) và AB ⊥ AA'(gt)

=> A'B' // AB =>  $\frac{A^{\prime }O}{OA}$ = $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}$ hay $\frac{3}{6}$ = $\frac{4,2}{x}$

x = $\frac{6.4,2}{3}$ = 8.4

∆ABO vuông tại A

=> OB² = y² = OA² + AB²

=> y² = 6²+ 8,4²

=> y² = 106,56

=> y ≈ 10,3

Bài 8 trang 63 - Sách giáo khoa toán 8

a) Để chi đoạn thẳng AB thành ba đoạn bằng nhau, người ta đã làm như hình 15.

Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì sao các đoạn AC,CD,DB bằng nhau?

b) Bằng cách tương tự, hãy chi đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi có cách nào khác với cách làm trên mà vẫn có thể chia đoạn AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau?

Giải: 

a) Mô tả cách làm:

Vẽ đoạn PQ song song với AB. PQ có độ dài bằng 3 đơn vị

- Xác định giao điểm O của hai đoạn thẳng PB và QA.

- Vẽ các đường thẳng EO, FO cắt AB tại C và D.

Chứng minh AC=CD=DB

∆OPE và ∆OBD có PE//DB nên $\frac{DB}{PE}$ =  $\frac{OD}{OE}$     (1)

∆OEF và ∆ODC có PE // CD nên $\frac{CD}{EF}$ = $\frac{OD}{OE}$    (2)

Từ 1 và 2 suy ra:

$\frac{DB}{PE}$ = $\frac{CD}{EF}$ mà PE = EF nên DB = CD.

Chứng minh tương tự: $\frac{AC}{DF}$ = $\frac{CD}{EF}$ nên AC = CD.

Vây: DB = CD = AC.

b) Tương tự chia đoạn thẳng AB thành 5 đoạn bằng nhau thực hiện như hình vẽ sau:

Ta có thể chia đoạn thẳng AB thành 5 đoạn thẳng bằng nhau như cách sau:

Vẽ 6 đường thẳng song song cách đều nhau( có thể dùng thước kẻ để vẽ liên tiếp). Đặt đầu mút A và B ở hai đường thẳng ngoài cùng thì các đường thẳng song song căt AB chia thành 5 phần bằng nhau. 

Bài 9 trang 63 - Sách giáo khoa toán 8

Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB sao cho AD= 13,5cm, DB= 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách tự điểm A và B đến cạnh AC

Giải:

Gọi DH và BK lần lượt là khoảng cách từ B và D đến cạnh AC.

Ta có DH // BK (cùng vuông góc với AC)

=> $\frac{DH}{BK}$ = $\frac{AD}{AB}$ 

Mà AB = AD + DB

=> AB = 13,5 + 4,5 = 18 (cm)

Vậy $\frac{DH}{BK}$ = $\frac{13,5}{18}$ = $\frac{3}{4}$

Vậy tỉ số khoảng cách từ điểm D và B đến AC bằng $\frac{3}{4}$

Bài 10 trang 63 - Sách giáo khoa toán 8

Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB,AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B', C' và H'(h.16)

a) Chứng minh rằng:

$\frac{A{H}^{\prime }}{AH}$ = $\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}$.

b) Áp dụng: Cho biết AH' = $\frac{1}{3}$ AH và diện tích tam giác ABC là 67.5 cm²

Tính diện tích tam giác AB'C'.

Giải:

a) Chứng minh $\frac{A{H}^{\prime }}{AH}$ = $\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}$ 

Vì B'C' // với BC => $\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}$ = $\frac{A{B}^{\prime }}{AB}$            (1)

Trong ∆ABH có BH' // BH => $\frac{A{H}^{\prime }}{AH}$ = $\frac{A{B}^{\prime }}{BC}$  (2)

Từ 1 và 2 => $\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}$ = $\frac{A{H}^{\prime }}{AH}$

b) B'C' // BC mà AH ⊥ BC nên AH' ⊥ B'C' hay AH' là đường cao của tam giác AB'C'.

Áp dụng kết quả câu a) ta có: AH' = $\frac{1}{3}$ AH

$\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}$ = $\frac{A{H}^{\prime }}{AH}$ = $\frac{1}{3}$ => B'C' = $\frac{1}{3}$ BC

=> S_AB’C’= $\frac{1}{2}$ AH'.B'C' = $\frac{1}{2}$.$\frac{1}{3}$AH.$\frac{1}{3}$BC

=>S_AB’C’= ($\frac{1}{2}$AH.BC)$\frac{1}{9}$

mà S_ABC= $\frac{1}{2}$AH.BC = 67,5 cm²

Vậy S_AB’C’= $\frac{1}{9}$.67,5= 7,5 cm²

Bài 11 trang 63 - Sách giáo khoa toán 8

Tam giác ABC có BC= 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I,K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC(h.17)

a) Tính độ dài đoạn MN và EF.

b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết diện tích của tam giác ABC là 270 cm²

 

Giải:

a) 

∆ABC có MN // BC.

=> $\frac{MN}{CB}$ = $\frac{AK}{AH}$(kết quả bài tập 10)

Mà AK = KI = IH

Nên $\frac{AK}{AH}$ = $\frac{1}{3}$ => $\frac{MN}{CB}$ = $\frac{1}{3}$ => MN = $\frac{1}{3}$BC = $\frac{1}{3}$.15 = 5 cm.

∆ABC có EF // BC => $\frac{EF}{BC}$ = $\frac{AI}{AH}$ = $\frac{2}{3}$

=> EF = $\frac{2}{3}$.15 =10 cm.

b) Áp dụng kết quả ở câu b của bài 10 ta có:

S_AMN= $\frac{1}{9}$.S_ABC= 30 cm²

S_AEF= $\frac{4}{9}$.S_ABC= 120 cm²

Do đó SMNEF = S_AEF - S_AMN = 90 cm²

Bài 12 trang 64 - Sách giáo khoa toán 8

Có thể đo dược chiều rông của một khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia hay không?

Người ta tiền hành đo đạc các yếu tố hình học cần thiết để tình chiều rộng của khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia(h18). Nhìn hình vẽ, Hãy mô tả những công việc cần làm và tính khoảng cách AB=x theo BC=a a, B'C'= a', BB'= h.

Giải: mô tả cách làm:

* Chọn một điểm A cố định bên mép bờ sông bên kia( chẳng hạn như là một thân cây), đặt hai điểm B và B' thẳng hàng với A, điểm B sát mép bờ còn lại và AB chình là khoảng cách cần đo.

* Trên hai đường thẳng vuông góc với AB' tại B và B' lấy C và C' thẳng hàng với A.

* Đo độ dài các đoạn BB'= h, BC= a, B'B'= a'.

Giải

Ta có:

$\frac{AB}{A{B}^{\prime }}$ = $\frac{BC}{B{C}^{\prime }}$ mà AB' = x + h nên 

$\frac{x}{x+h}$ = $\frac{a}{a^{\prime }}$ <=> a'x = ax + ah

<=> a'x - ax = ah

<=> x(a' - a) = ah

x= $\frac{ah}{a^{\prime }-a}$

Vậy khoảng cách AB bằng $\frac{ah}{a^{\prime }-a}$

Bài 13 trang 64 - Sách giáo khoa toán 8

Có thể đo gián tiếp chiều cao của một bức tường bằng dụng cụ do đơn giản được không?

Hình 19: thể hiện cách đo chiều cao AB của một bức tường bằng các dụng cụ đơn giản gồm:

Hai cọc thẳng đứng và sợi dây FC, Cọc 1 có chiều cao DK= h. Các khoảng cách BC= a, DC= b đo được bằng thước thông dụng.

a) Em hay cho biết người ta tiến hành đo đạc như thế nào ? 

b) Tính chiều cao AB theo h, a, b.

a) Cách tiến hành:

- Đặt hai cọc thẳng đứng, di chuyển cọc 2 sao cho 3 điểm A,F,K nằm trên đường thẳng.

- Dùng sợi dây căng thẳng qua 2 điểm F và K để xác định điểm C trên mặt đất( 3 điểm F,K,C thẳng hàng).

b) ∆BC có AB // EF nên $\frac{EF}{AB}$ = $\frac{EC}{BC}$ => AB = $\frac{EF.BC}{EC}$ = $\frac{h.a}{b}$

Vậy chiều cao của bức tường là: AB = $\frac{h.a}{b}$.

Bài 14 trang 64 - Sách giáo khoa toán 8

Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m,n,p( cùng đơn vị đo).

Dựng đoạn thẳng có độ dài x sao cho:

a) $\frac{x}{m}$= 2;     b) $\frac{x}{n}$ = $\frac{2}{3}$;       c) $\frac{m}{x}$ = $\frac{n}{p}$

Giải: 

a) Cách dựng:

- Vẽ hai tia Ox, Oy không đối nhau.

- Trên tia Oy đặt điểm B sao cho OB = 2 đơn vị.

- Lấy trung điểm của OB,

- Nối MA.

- Vẽ đường thẳng đi qua B và song song với MA cắt Ox tại C thì $\frac{OC}{OA}$ = $\frac{OB}{OM}$; OB = 2 OM

=> $\frac{x}{m}$ = 2

b) Cách dựng:

- Vẽ hai tia Ox và Oy không đối nhau.

- Trên tia Ox đặt hai đoạn OA= 2 đơn vị, OB= 3 đơn vị.

- Trên tia Oy đặt đoạn OB' = n

- Nối BB'

- Vẽ đường thẳng qua A song song với BB' cắt Oy tại A' và OA' = x.

Ta có: AA' // BB' => $\frac{O{A}^{\prime }}{O{B}^{\prime }}$ = $\frac{OA}{OB}$

hay $\frac{x}{n}$ = $\frac{2}{3}$

c) Cách dựng:

- Vẽ tia Ox, Oy không đối nhau.

- Trên tia Ox đặt đoạn OA= m, OB= n.

- Trên tia Oy đặt đoạn OB' = p.

- Vẽ đường thẳng qua A và song song với BB' cắt Oy tại A' thì OA' = x.

Thật vậy: AA' // BB' => $\frac{OA}{x}$ = $\frac{OB}{O{B}^{\prime }}$ hay $\frac{m}{x}$ = $\frac{n}{p}$