Câu 1 trang 86 sgk toán 7

Cho tam giác ABC. Hãy viết kết luận của hai bài toán sau về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.

	Bài toán 1	Bài toán 2
Giả thiết	AB>AC	Góc B < góc C
Kết luận

Hướng dẫn làm bài:

	Bài toán 1	Bài toán 2
Giả thiết	AB>AC	Góc B < Góc C
Kết luận	Góc C < góc B	AC < AB

Câu 2 trang 86 sgk toán 7

Từ điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH, các đường xiên AB,AC đến đường thẳng d. Hãy điền dấu (<, >) vào các chỗ trống (…) dưới đây cho đúng :

a) AB ….. AH ; AC ….. AH.

b) Nếu HB …. HC thì AB ….. AC.

c) Nếu AB ….. AC thì HB ….HC.

Hướng dẫn làm bài:

a) AB > AH; AC > AH.

b) Nếu HB > HC thì AB > AC

Hoặc có thể HB < HC thì AB < AC

c) Nếu AB > AC thì HB > HC

Hoặc có thể AB < AC thì HB < HC

Câu 3 trang 86 sgk toán 7

Cho tam giác DEF. Hãy viết các bất đẳng thức về quan hệ giữa các cạnh của tam giác này.

Hướng dẫn làm bài:

Với ∆DEF ta có các bất đẳng thức và quan hệ giữa các cạnh là:

a) DE < EF + DF

b) DF < EF + DE

 EF < DE + DF

Hoặc : b)DF – EF                   DE < DF + EF với DF > EF

Câu 4 trang 86 sgk toán 7

Hãy ghép đôi hai ý ở hai cột để được khẳng định đúng

Trong tam giác ABC
a)đường phân giác xuất phát từ đỉnh A	a’)là đường thẳng vuông góc với cạnh BC tại trung điểm của nó
b)đường trung trực ứng với cạnh BC	b’)là đoạn vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC
c)đường cao xuất phát từ đỉnh A	c’)là đoạn thẳng nối A với trung điểm của cạnh BC
d)đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A	d’)là đoạn thẳng có hai mút là đỉnh A và giao điểm của cạnh BC với tia phân giác của góc A

Hướng dẫn làm bài:

Ghép a – d’, b – a’, c – b’, d – c’.

Câu 5 trang 86 sgk toán 7

Hãy ghép đôi hai ý ở hai cột để được khẳng định đúng

Trong một tam giác
a) trọng tâm	a’) là điểm chung của ba đường cao
b) trực tâm	b’) là điểm chung của ba đường trung tuyến.
c) điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh	c’) là điểm chung của ba đường trung trực.
d) điểm cách đều ba đỉnh	d’) là điểm chung của ba đường phân giác

Hướng dẫn làm bài:

Ghép a – b’, b – a’, c – d’, d – c’.

Câu 6 trang 87 sgk toán 7

a) Hãy nêu tích chất của trọng tâm của một tam giác ; các cách xác định trọng tâm.

b) Bạn Nam nói : Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác. Bạn Nam nói đúng hay sai ? Tại sao ?

Hướng dẫn làm bài:

a)*Trọng tâm của một tam giác có tính chất như sau :

‘ Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng  độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó’’

*Các cách xác định trọng tâm

+Cách 1 : Vẽ hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh tùy ý, rồi xác định giao điểm của hai đường trung tuyến đó.

+Cách 2 : Vẽ một đường trung tuyến của tam giác. Chia độ dài đường trung tuyến đó thành ba phần bằng nhau rồi xác định một điểm cách đỉnh hai phần bằng nhau.

b) Không thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác vì đường trung tuyến qua một đỉnh của tam giác và trung điểm một cạnh trong tam giác nên đường trung tuyến phải nằm giữa hai cạnh của tam giác tức nằm ở miền trong của tam giác nên ba đường trung tuyến cắt nhau chỉ có thể nằm ở trong tam giác.

Câu 7 trang 87 sgk toán 7

Những tam giác nào có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao ?

Hướng dẫn làm bài:

Tam giác có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao là tam giác cân, tam giác vuông cân.

Câu 8 trang 87 sgk toán 7

Những tam giác nào có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh ?

Hướng dẫn làm bài:

Tam giác có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh là tam giác đều.

Bài 63 trang 87 sgk toán 7

Cho tam giác ABC với AC < AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC. Vẽ các đoạn thẳng AD, AE.

a) Hãy so sánh góc ADC và góc AEB.

b) Hãy so sánh các đoạn thẳng AD và AE.

Hướng dẫn làm bài:

Trong  ∆ABC, ta có AB > AC (gt) ⇒ $\widehat{ACB}>\widehat{ABC}$    (1)

Từ (1) suy ra được: $\widehat{ACE}<\widehat{ABD}$  (hai góc kề bù) (2)

- Trong tam giác cân ACE, ta có:

$\widehat{ACE}=\widehat{EAC}$ và $\widehat{AEC}+\widehat{EAC}+\widehat{ACE}={180}^0$

hay $\widehat{ACE}=2\widehat{AEC}={180}^0\Rightarrow \widehat{AEC}=\frac{{180}^0-\widehat{ACE}}{2}$    (3)

- Tương tự, trong tam giác cân ABD, ta có:

$\widehat{ADB}=\frac{{180}^0-\widehat{ABD}}{2}$      (4)

- Mà $\widehat{ACE}<\widehat{ABD}$    (do (2))

Từ  (2), (3), (4) suy ra: $\frac{{180}^0-\widehat{ACE}}{2}>\frac{{180}^0-\widehat{ABD}}{2}$

suy ra $\widehat{AEC}>\widehat{ADB}$ hay $\widehat{AEB}>\widehat{ADC}$ (đpcm)

b) Xét ∆AED, ta có: $\widehat{AEB}>\widehat{ADC}$ . Suy ra AD > AE

Bài 64 trang 87 sgk toán 7

Gọi MH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh rằng: Nếu MN < MP thì HN < HP  và  

$\widehat{NMH}<\widehat{PMH}$ (yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc N nhọn và khi góc N tù).

Hướng dẫn làm bài:

 

+Nếu góc N nhọn (hình a)

∆MNP có  $\hat{N}$ nhọn nên chân đường cao H kẻ từ M nằm giữa N và P.

Ta có hình chiếu của MN và MP lần lượt là HN và HP.

Từ giả thiết MN < MP => HN < HP (quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu).

∆MNP có MN < MP =>  $\widehat{MPN}<\widehat{MNP}$ (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Vì  $\widehat{NMH}+\widehat{MNH}={90}^0$ (∆MNH vuông tại H)

 $\widehat{MPH}+\widehat{PMH}={90}^0\$$(∆MHP vuông tại H)

Vậy  $\widehat{NMH}<\widehat{PMH}$

+Nếu góc N tù (hình b)

∆MNP có  $\hat{N}$ tù nên chân đường cao H ở ngoài cạnh NP và N ở giữa H và P

=>HN < HP.

Vì N ở giữa H và P nên tia MN ở giữa hai tia MH và MP. Từ đó suy ra  $\widehat{HMN}<\widehat{HMP}$

Bài 65 trang 87 sgk toán 7

Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau: 1cm, 2cm, 3cm, 4cm và 4cm?

Hướng dẫn làm bài:

Trong một tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại. Vậy nên với năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm chỉ dựng được tam giác với ba cạnh là các đoạn thẳng có độ dài là các bộ ba 2cm, 3cm, 4cm, bộ ba 3cm, 4cm, 5cm, bộ ba 2cm, 4cm, 5cm.

Bài 66 trang 87 sgk toán 7

Đố: Bốn điểm dân cư được xây dựng như hình 58. Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sao cho tổng các khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất.

Hướng dẫn làm bài:

Gọi O là một điểm tùy ý (nơi phải đặt nhà máy) A, B, C, D lần lượt là bốn điểm dân cư.

Ta có:

+Nếu O nằm trên đoạn AC thì $\begin{array}{c}OA+OC=AC\\ OB+OC=BD\end{array}\}=>OA+OB+OC+OD>AC+BD$

+Nếu O nằm trên đoạn BD thì $\begin{array}{c}OB+OD=BD\\ OA+OC>AC\end{array}\}=>OA+OB+OC+OD>AC+BD$

+Nếu O không nằm trên AC và BD thì $\begin{array}{c}OA+OC>AC\\ OB+OD>BD\end{array}\}=>OA+OB+OC+OD>AC+BD$

O là giao điểm của AC và BD thì $OA+OB+OC+OD=AC+BD$

-Vậy khi O là giao điểm của AC và BD thì tổng khoảng cách từ nhà nhà máy này đến các khu dân cư là ngắn nhất.

Bài 67 trang 87 sgk toán 7

Cho tam giác MNP với đường trung tuyến MR và trọng tâm Q.

a)Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ.

b)Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ.

Tức các kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích.

Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đườn cao.

Hướng dẫn làm bài:

 

a) Vì Q là trọng tâm của ∆MNP nên điểm Q thuộc đường trung tuyến MR và  $\frac{MQ}{RQ}=2$.

Vì hai tam giác ∆MPQ và ∆RPQ có chung đường cao kẻ từ P nên :

$\frac{S_{\Delta MPQ}}{S_{\Delta RPQ}}=\frac{MQ}{RQ}=2$ (1)

b) Chứng minh tương tự như câu (a) ta có :  

$\frac{S_{\Delta MPQ}}{S_{\Delta RPQ}}=2\left(2\right)$

c) Hai tam giác ∆PQR và ∆QNR có chung đường cao kẻ từ Q và PR = RN nên S_∆PQR = S_∆QNR

Vì S_∆PQR + S_∆QNR = S_∆PQN 

Nên S_∆PQN = 2.S_∆PQR = 2.S_∆QNR (3)

Từ (1), (2), (3) => S_∆QMN = S_∆QNP = S_∆QPM

Bài 68 trang 88 sgk toán 7

Cho góc xOy. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai cạnh Ox, Oy.

a) Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy và cách đều hai điểm A, B.

b) Nếu OA = OB thì có bao nhieu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a?

Hướng dẫn làm bài:

 

a) Vì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của  $\widehat{xOy}$ nên M phải thuộc tia phân giác  $\widehat{xOy}$.

Vì M cách đều hai điểm A và B nên M thuộc đường trung trực của AB. Vậy M là giao điểm của tia phân giác $\widehat{xOy}$ và đường trung trực của đoạn thẳng AB.

b) Nếu OA = OB thì ∆AOB cân tại O nên tia phân giác $\widehat{xOy}$ cũng là trung trực của AB nên mọi điểm trên tia phân giác $\widehat{xOy}$ sẽ cách đều hai cạnh Ox, Oy và cách đều hai điểm A và B.

Vậy khi OA = OB thì mọi điểm trên tia phân giác $\widehat{xOy}$ đều thỏa mãn các điều kiện ở câu a.

Bài 69 trang 88 sgk toán 7

Cho hai đường thẳng phân biệt không song song a và b, điểm M nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại P, cắt b tại Q và đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại S. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b.

Hướng dẫn làm bài:

 

 

(a) và (b) không song song nên (a) cắt (b), gọi giao điểm là O. Tam giác OSQ có PQ và RS là hai đường cao gặp nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác nên đường thẳng vẽ từ M và vuông góc với SQ là đường cao thứ ba của tam giác tức là đường vuông góc với SQ vẽ từ M cũng đi qua giao điểm của a và b

Bài 70 trang 88 sgk toán 7

Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

a) Ta kí hiệu P_A là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A (không kể đường thẳng d). Gọi N là một điểm của P_A và N là giao điểm của đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA; từ đó suy ra NA<NB.

b) Ta kí hiệu P_B là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm B (không kể điểm d). Gọi N’ là một điểm của P_B. Chứng minh rằng N’B < N’A.

c) Gọi L là một điểm sao cho LA < LB. Hỏi điểm L nằm ở đâu, trong P_A, P_B hay trên d?

Hướng dẫn làm bài:

 

a) Vì M nằm trên d, d là trung trực của AB nên MA = MB (1)

Vì  nên đoạn thẳng NB cắt d tại  M suy ra M nằm giữa N và B.

Hay NM + MB = NB (2)

Từ (1) và (2) => NB = MA + NM

b) Gọi AN’ cắt d tại I

 Trong tam giác N’IB có : N’B < IN’ + IB

Mà IA = IB (I thuộc trung trực của AB)

=> N’B < IN’ + NA => N’B < AN’

c) Vì LA < LB nên L không thuộc d, theo chứng minh câu b suy ra L thuộc P_A.