Bài 60 trang 64 SGK Toán 9

Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:

a) $12x^2-8x+1=0;x_1=\frac{1}{2}$                  

b) $2x^2-7x-39=0;x_1=-3$ 

c) $x^2+x-2+\sqrt{2}=0;x_1=-\sqrt{2}$         

d) $x^2-2mx+m-1=0;x_1=2$

Hướng dẫn làm bài:

a) $12x^2-8x+1=0;x_1=\frac{1}{2}$              

Ta có: $x_1{x}_2=\frac{1}{12}\iff \frac{1}{2}{x}_2=\frac{1}{12}\iff x_2=\frac{1}{6}$

b) $2x^2-7x-39=0;x_1=-3$ 

Ta có: $x_1.x_2=\frac{-39}{2}\iff -3x_2=\frac{-39}{2}\iff x_2=\frac{13}{2}$

c) $x^2+x-2+\sqrt{2}=0;x_1=-\sqrt{2}$       

Ta có:  

$\begin{array}{c}{x}_1.x_2=\sqrt{2}-2\\ \iff -\sqrt{2}.x_2=\sqrt{2}-2\\ \iff x_2=\frac{\sqrt{2}-2}{-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\left(1-\sqrt{2}\right)}{-\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\end{array}$

d) $x^2-2mx+m-1=0;x_1=2$

Vì x₁ = 2 là một nghiệm của pt (1) nên

2² - 2m.2 + m - 1 = 0

⇔ m = 1

Khi m = 1 ta có: x₁.x₂ = m - 1 (hệ thức Vi-ét)

⇔ 2.x₂ = 0 (vì x₁ = 2 và m = 1)

⇔ x₂ = 0

Bài 61 trang 64 SGK Toán 9

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 12; uv = 28 và u > v                      

b) u + v = 3; uv = 6

Hướng dẫn làm bài:

a) u + v = 12; uv = 28 và u > v          

u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 12x + 28 = 0

∆’ = 36 – 28 = 8

$\Rightarrow x_1=6+2\sqrt{2};x_2=6-2\sqrt{2}$

Vì $6+2\sqrt{2}>6-2\sqrt{2}$ nên suy ra $u=6+2\sqrt{2};v=6-2\sqrt{2}$ 

b) u + v = 3; uv = 6

u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 3x + 6 = 0

∆ = (-3)² – 4.1.6 = 9 – 24 = -15 < 0

Phương trình vô nghiêmh suy ra không có 2 số u và v thỏa mãn điều kiện đã cho

Bài 62 trang 64 SGK Toán 9

Cho phương trình 7x² + 2(m – 1)x – m² = 0

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m.

Hướng dẫn trả lời:

Xét phương trình 7x² + 2(m – 1)x – m² = 0 (1)

a) Phương trình có nghiệm khi ∆’ ≥ 0

Ta có: ∆’ = (m – 1)² – 7(-m²) = (m – 1)² + 7m² ≥ 0 với mọi m

Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1)

Ta có:

$\begin{array}{c}{x}_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\\ =\left[\frac{-2{\left(m-1\right)}^2}{7}\right]-2\frac{{\left(-m\right)}^2}{7}\\ =\frac{4m^2-8m+4}{49}+\frac{2m^2}{7}\\ =\frac{4m^2-8m+4+14m^2}{49}\\ =\frac{18m^2-8m+4}{49}\end{array}$ 

Vậy $x_1^2+x_2^2=\frac{18m^2-8m+4}{49}$  

Bài 63 trang 64 SGK Toán 9

Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000 000 người lên 2 020 050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?

Hướng dẫn trả lời:

Gọi tỉ số tăng dân số trung bình mỗi năm là x% (x > 0).

Sau một năm dân số của thành phố là:

2 000 000 + 2 000 000 . $\frac{x}{100}$ = 2 000 000 + 20 000x (người)

Sau hai năm, dân số của thành phố là:

2 000 000 + 20 000x + (2 000 000 + 20 000x). $\frac{x}{100}$

= 2 000 000 + 40 000x + 200x² (người)

Ta có phương trình:

2 000 000 + 40 000x + 200x² = 2 020 050 ⇔ 4 x² + 800x – 401 = 0

∆’ = 400² – 4(-401) = 160 000 + 1 604 = 161 604 > 0

√∆’ = √161 604 = 402

Vậy phương trình có 2 nghiệm:

$x_1=\frac{-400+402}{4}=0,5\left(TM\right);x_2=\frac{-400-402}{4}=-200,5<0$ (loại)

Tỉ lệ tăng dẫn số trung bình hàng năm của thành phố là 0,5%

Bài 64 trang 64 SGK Toán 9

Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời:

Gọi x là số dương mà đấu bài cho, x ∈ N*

Bạn Quân đã chọn số (x – 2) để nhân với x.

Theo đề bài, ta có: x(x – 2) = 120 hay x² – 2x – 120 = 0

Giải phương trình ta được x = 12 (thỏa mãn)

Theo đầu bài yêu cầu tìm tích của x với x +2

Vậy kết quả đúng phải là: 12.14 = 168

Bài 65 trang 64 SGK Toán 9

Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe thứ nhất. Điều kiện x > 0.

Khi đó vận tốc của xe lửa  thứ hai là x + 5 (km/h).

Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là: $\frac{450}{x}$ (giờ)

Thời gian xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp nhau là: $\frac{450}{x+5}$ (giờ)

Vì xe lửa thứ hai đi sau 1 giờ, nghĩa là thời gian đi đến chỗ gặp nhau ít hơn xe thứ nhất 1 giờ. Ta có phương trình:

$\frac{450}{x}-\frac{450}{x+5}=1\iff x^2+5x-2250=0$ 

Giải phương trình ta được: x₁ = 45 (nhận); x₂ = -50 (loại)

Vậy: Vận tốc của xe lửa thứ nhất là 45km/h

Vận tốc của xe lửa thứ hai là 50km/h

Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm².

Bài 66 trang 64 SGK Toán 9

Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm².

Hướng dẫn trả lời:

Gọi x (cm) là độ dai của đoạn AK. Điều kiện 0 < x < 12

Vì ∆ABC ~∆AMN nên

$\begin{array}{c}\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AH}=\frac{x}{12}\\ \Rightarrow MN=\frac{16x}{12}=\frac{4x}{3}\end{array}$  

Ta có: MQ = KH = 12 – x

Do đó diện tich hình chữ nhật MNPQ là: $\left(12-x\right)\frac{4x}{3}$ 

Ta có phương trình:

$\left(12-x\right)\frac{4x}{3}=36\iff x^2-12x+27=0$

Giải phương trình ta được:

x₁ = 9 (nhận) hoặc x₂ = 3 (nhận)

Vậy độ dài của đoạn AK = 3cm hoặc 9cm. Khi đó M sẽ có hai vị trí trên AB nhưng diện tích hình chữ nhật MNPQ luôn bằng 36cm²