Bài 34 trang 56 sgk toán 9 

Giải các phương trình trùng phương:

a) x⁴ – 5x² + 4 = 0;     b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0;      c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0

Bài giải:

a) x⁴ – 5x²+ 4 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: t² – 5t + 4 = 0; t₁ = 1, t₂ = 4

Nên: x₁ = -1, x₂ = 1, x₃ = -2, x₄ = 2.

b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: 2t² – 3t – 2 = 0; t₁ = 2, t₂ = $-\frac{1}{2}$ (loại)

Vậy: x₁ = √2; x₂ = -√2

c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: 3t² + 10t + 3 = 0; t₁ = -3(loại), t₂ = $-\frac{1}{3}$ (loại)

Phương trình vô nghiệm.
 

Bài 35 trang 56 sgk toán 9

Giải các phương trình:

a) $\frac{(x+3)(x-3)}{3}$ + 2 = x(1 - x);    b) $\frac{x+2}{x-5}$ + 3 = $\frac{6}{2-x}$;

c) $\frac{4}{x-1}$ = $\frac{-x^2-x+2}{(x+1)(x+2)}$

Bài giải:

a) $\frac{(x+3)(x-3)}{3}$+ 2 = x(1 - x)

⇔ x² – 9 + 6 = 3x – 3x²

⇔ 4x² – 3x – 3 = 0; ∆ = 57

x₁ = $\frac{3+\sqrt{57}}{8}$, x₂ = $\frac{3-\sqrt{57}}{8}$

b) $\frac{x+2}{x-5}$ + 3 = $\frac{6}{2-x}$. Điều kiện x ≠ 2, x ≠ 5.

(x + 2)(2 – x) + 3(x – 5)(2 – x) = 6(x – 5)

⇔ 4 – x^2 – 3x² + 21x – 30 = 6x – 30 ⇔ 4x² – 15x – 4 = 0

∆ = 225 + 64 = 289, √∆ = 17

x₁ = $-\frac{1}{4}$, x₂ = 4

c) $\frac{4}{x-1}$ = $\frac{-x^2-x+2}{(x+1)(x+2)}$. Điều kiện: x ≠ -1; x ≠ -2

Phương trình tương đương: 4(x + 2) = -x² – x + 2

⇔ 4x + 8 = 2 – x² – x

⇔ x² + 5x + 6 = 0

Giải ra ta được: x₁ = -2 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên phương trình chỉ có một nghiệm x = -3.

Bài 36 trang 56 sgk toán 9

Giải các phương trình:

a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0;          b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0

Bài giải:

a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0

=> 3x² – 5x + 1 = 0 => x = $\frac{5\pm \sqrt{13}}{6}$

hoặc x² – 4 = 0 => x = ±2.

b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0

⇔ (2x² + x – 4 + 2x – 1)(2x² + x – 4 – 2x + 1) = 0

⇔ (2x² + 3x – 5)(2x² – x – 3) = 0

=> 2x² + 3x – 5 = 0 hoặc 2x² – x – 3 = 0

X₁ = 1; x₂ = -2,5; x₃ = -1; x₄ = 1,5

Bài 37 trang 56 sgk toán 9

Giải phương trình trùng phương:

a) 9x⁴ – 10x² + 1 = 0;                     b) 5x⁴ + 2x² – 16 = 10 – x²;

c) 0,3x⁴ + 1,8x² + 1,5 = 0;              d) 2x² + 1 = $\frac{1}{x^2}$ – 4

Bài giải:

a) 9x⁴ – 10x² + 1 = 0. Đặt t = x² ≥ 0, ta có: 9t² – 10t + 1 = 0.

Vì a + b + c = 9 – 10 + 1 = 0 nên t₁ = 1, t₂ = $\frac{1}{9}$

Suy ra: x₁ = -1, x₂ = 1, x₃ = $-\frac{1}{3}$, x₄ = $\frac{1}{3}$

b) 5x⁴ + 2x² – 16 = 10 – x² ⇔ 5x⁴ + 3x² – 26 = 0.

Đặt t = x² ≥ 0, ta có: 5t² + 3t -26 = 0

∆ = 9 + 4 . 5 . 26 = 529 = 23²; t₁ = 2, t₂ = -2,6 (loại). Do đó: x₁ = √2, x₂ = -√2

c) 0,3x⁴ + 1,8x² + 1,5 = 0 ⇔ x⁴ + 6x² + 5 = 0. Đặt t = x² ≥ 0, ta có:

t² + 6t + 5 = 0, t₁ = -1 (loại), t₂ = -5 (loại)

Phương trình vô nghiệm,

Chú ý:  Cũng có thể nhẫn xét rằng vế trái x⁴ + 6x² + 5 ≥ 5, còn vế phải bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm.

d) 2x² + 1 = $\frac{1}{x^2}$ – 4 ⇔ 2x² + 5 - $\frac{1}{x^2}$ = 0. Điều kiện x ≠ 0

2x⁴ + 5x² – 1 = 0. Đặt t = x² ≥ 0, ta có:

2t² + 5t – 1 = 0; ∆ = 25 + 8 = 33,  t₁ = $\frac{-5+\sqrt{33}}{4}$, t₂ = $\frac{-5-\sqrt{33}}{4}$ (loại)

Do đó x₁ = $\frac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2}$ , x₂ = $-\frac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2}$

Bài 38 trang 56 sgk toán 9

Giải các phương trình:

a) (x – 3)² + (x + 4)² = 23 – 3x;

b) x³ + 2x² – (x – 3)² = (x – 1)(x² – 2);

c) (x – 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5);

d) $\frac{x(x-7)}{3}$ – 1 = $\frac{x}{2}$ - $\frac{x-4}{3}$;

e) $\frac{14}{x^2-9}$ = 1 - $\frac{1}{3-x}$;           

f) $\frac{2x}{x+1}$ = $\frac{x^2-x+8}{(x+1)(x-4)}$

Bài giải:

a) (x – 3)² + (x + 4)² = 23 – 3x  ⇔ x² – 6x + 9 + x² + 8x + 16 = 23 – 3x

⇔ 2x² + 5x + 2 = 0

∆ = 25 – 16 = 9

x₁ = -2, x₂ = $-\frac{1}{2}$

b) x³ + 2x² – (x – 3)² = (x – 1)(x² – 2)

⇔ x³ + 2x² – x² + 6x – 9 = x³ – x² – 2x + 2 ⇔ 2x² + 8x – 11 = 0

∆’ = 16 + 22 = 38

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{38}}{2}$, x₂ = $\frac{-4-\sqrt{38}}{2}$

c) (x – 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5)

⇔ x³ – 3x² + 3x – 1 + 0,5x² = x³ + 1,5x

⇔ 2,5x² – 1,5x + 1 = 0

⇔ 5x² – 3x + 2 = 0; ∆ = 9 – 40 = -31 < 0

Phương trình vô nghiệm

d) $\frac{x(x-7)}{3}$ – 1 = $\frac{x}{2}$ - $\frac{x-4}{3}$

⇔ 2x(x – 7) – 6 = 3x – 2(x – 4)

⇔ 2x² – 14x – 6 = 3x – 2x + 8

⇔ 2x² – 15x – 14 = 0; ∆ = 225 + 112 = 337

x₁ = $\frac{15+\sqrt{337}}{4}$, x₂ = $\frac{15-\sqrt{337}}{4}$

e) $\frac{14}{x^2-9}$ = 1 - $\frac{1}{3-x}$. Điều kiện: x ≠ ±3

Phương trình được viết lại: $\frac{14}{x^2-9}$ = 1 + $\frac{1}{x-3}$

⇔ 14 = x² – 9 + x + 3

 ⇔ x² + x – 20 = 0, ∆ = 1 + 4 . 20 = 81

                            √∆ = 9

Nên x₁ = $\frac{-1-9}{2}$ = -5; x₂ = $\frac{-1+9}{2}$ = 4 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = -5, x₂ = 4.

f) $\frac{2x}{x+1}$ = $\frac{x^2-x+8}{(x+1)(x-4)}$. Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 4

Phương trình tương đương với:

2x(x – 4) = x² – x + 8 ⇔ 2x² – 8x – x² + x – 8 = 0

⇔ x² – 7x – 8 = 0

Có a – b + c = 1 – (-7) – 8 = 0 nên x₁ = -1, x₂ = 8

Vì x₁ = -1 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là x = 8.

Bài 39 trang 57 sgk toán 9

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.

a) (3x²  - 7x – 10)[2x² + (1 - √5)x + √5 – 3] = 0;

b) x³ + 3x²– 2x – 6 = 0;                     

c) (x²  - 1)(0,6x + 1) = 0,6x² + x;

d) (x² + 2x – 5)² = ( x² – x + 5)².

Bài giải.

a) (3x²  - 7x – 10)[2x² + (1 - √5)x + √5 – 3] = 0

=> hoặc (3x²  - 7x – 10) = 0                  (1)

      hoặc  2x² + (1 - √5)x + √5 – 3 = 0  (2)

Giải (1): phương trình a - b + c = 3 + 7 - 10 = 0

nên

x₁ = - 1, x₂  = $-\frac{-10}{3}$  = $\frac{10}{3}$ 

Giải (2): phương trình có a + b + c = 2 + (1 -  √5) +  √5 - 3 = 0

nên

x₃ =  1, x₄  = $\frac{\sqrt{5}-3}{2}$ 

b)  x³ + 3x²– 2x – 6 = 0 ⇔ x²(x + 3) – 2(x + 3) = 0 ⇔ (x + 3)(x² -  2) = 0

=> hoặc x + 3 = 0

      hoặc x² -  2 = 0

Giải ra x₁ = -3,  x₂  = -√2,  x₃  = √2

c) (x²  - 1)(0,6x + 1) = 0,6x² + x  ⇔ (0,6x + 1)(x² – x – 1) = 0

=> hoặc 0,6x + 1 = 0        (1)

hoặc x² – x – 1 = 0            (2)

(1) ⇔ 0,6x + 1 = 0 

⇔ x₂ = $-\frac{1}{0,6}$  = $-\frac{5}{3}$ 

(2): ∆ = (-1)² – 4 . 1 . (-1) = 1 + 4 = 5, √∆ = √5

x₃ = $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, x₄ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Vậy phương trình có ba nghiệm:

x₁ = $-\frac{5}{3}$, x₂ = $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, x₃ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,

d) (x² + 2x – 5)² = ( x² – x + 5)² ⇔ (x² + 2x – 5)² - ( x² – x + 5)² = 0

⇔ (x² + 2x – 5 +  x² – x + 5)( x² + 2x – 5 - x² + x - 5) = 0

⇔ (2x² + x)(3x – 10) = 0

⇔ x(2x + 1)(3x – 10) = 0

Hoặc x = 0, x = $-\frac{1}{2}$ , x = $\frac{10}{3}$ 

Vậy phương trình có 3 nghiệm:

x₁ = 0, x₂ = $-\frac{1}{2}$, x₃ = $\frac{10}{3}$

Bài 40 trang 57 sgk toán 9

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) 3(x² + x)² – 2(x² + x) – 1 = 0;             b) (x² – 4x + 2)² + x² – 4x – 4 = 0;

c) x - √x = 5√x + 7;                              d) $\frac{x}{x+1}$ – 10 . $\frac{x+1}{x}$ = 3

Hướng dẫn: a) Đặt t = x² + x, ta có phương trình 3t² – 2t  - 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đằng thức t = x² + x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.

d) Đặt $\frac{x+1}{x}$ = t hoặc $\frac{x}{x+1}$ = t

Bài giải:

a) 3(x² + x)² – 2(x² + x) – 1 = 0. Đặt t = x² + x, ta có:

3t² – 2t – 1 = 0; t₁ = 1, t₂ = $-\frac{1}{3}$

Với t₁ = 1, ta có: x² + x = 1 hay x² + x – 1 = 0, ∆ = 4 + 1 = 5, √∆ = √5

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, x₂ = $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

Với t₂ = $-\frac{1}{3}$, ta có: x² + x = $-\frac{1}{3}$ hay 3x² + 3x + 1 = 0:

Phương trình vô nghiệm, vì ∆ = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, x₂ = $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

b)    (x² – 4x + 2)² + x² – 4x – 4 = 0

Đặt t = x² – 4x + 2, ta có phương trình t² + t – 6 = 0

Giải ra ta được t₁ = 2, t₂ = -3.

- Với t₁ = 2 ta có: x² – 4x + 2 = 2 hay x² – 4x = 0. Suy ra x₁ = 0, x₂ = 4.

- Với t₁ = -3, ta có: x² – 4x + 2 = -3 hay x² – 4x + 5 = 0.

Phương trình này vô nghiệm vì ∆ = (-4)² – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = 0, x₂ = 4.

c) x - √x = 5√x + 7 ⇔ x - 6√x – 7 = 0. Điều kiện: x ≥ 0. Đặt t = √x, t ≥ 0

Ta có: t² – 6t – 7 = 0. Suy ra: t₁ = -1 (loại), t₂ = 7

Với t = 7, ta có: √x = 7. Suy ra x = 49.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 49

d) 

$\frac{x}{x+1}$ – 10 . $\frac{x+1}{x}$ = 3. Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 0

Đặt $\frac{x}{x+1}$ = t, ta có: $\frac{x+1}{x}$ = $\frac{1}{t}$. Vậy ta có phương trình: t - $\frac{10}{t}$ – 3 = 0

hay: t² – 3t – 10 = 0. Suy ra t₁ = 5, t₂ = -2.

- Với t₁ = 5, ta có $\frac{x}{x+1}$ = 5 hay x = 5x + 5. Suy ra x = $-\frac{5}{4}$

-  Với t₂ = -2, ta có $\frac{x}{x+1}$ = -2 hay x = -2x – 2. Suy ra x = $-\frac{2}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = $-\frac{5}{4}$, x₂ = $-\frac{2}{3}$