Bài 25 trang 52 sgk toán 9 

Đối với phương trình sau, kí hiệu x₁ và x₂ là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chố trống (..):

a) 2x² – 17x + 1 = 0,   ∆ = …,  x₁ + x₂ = …,    x₁x₂ = …;

b) 5x² – x + 35 = 0,     ∆ = …, x₁ + x₂ = …,    x₁x₂ = …;

c) 8x² – x + 1 = 0,       ∆ = …, x₁ + x₂ = …,    x₁x₂ = …;

d) 25x² + 10x + 1 = 0,  ∆ = …, x₁ + x₂ = …,    x₁x₂ = …;

Bài giải:

a) 2x² – 17x + 1 = 0 có a = 2, b = -17, c = 1

∆ = (-17)² – 4 . 2 . 1 = 289 – 8 = 281

x₁ + x₂ = $-\frac{-17}{2}$ = $\frac{17}{2}$; x₁x₂ = $\frac{1}{2}$

b) 5x² – x + 35 = 0 có a = 5, b = -1, c = -35

∆ = (-1)² – 4 . 5 . (-35) = 1 + 700 = 701

x₁ + x₂ = $-\frac{-1}{5}$ = $\frac{1}{5}$; x₁x₂ = $\frac{-35}{5}$ = -7

c) 8x² – x + 1 = 0 có a = 8, b = -1, c = 1

∆ = (-1)² – 4 . 8 . 1 = 1 - 32 = -31 < 0

Phương trình vô nghiệm nên không thể điền vào ô trống được.

d) 25x² + 10x + 1 = 0 có a = 25, b = 10, c = 1

∆ = 10² – 4 . 25 . 1 = 100 - 100 = 0

x₁ + x₂ = $-\frac{10}{25}$ = $-\frac{2}{5}$; x₁x₂ = $\frac{1}{25}$

Bài 26 trang 53 sgk toán 9

Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a - b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau :

a) 35x²– 37x + 2 = 0 ;                         b) 7x² + 500x - 507 = 0

c) x²-  49x - 50 = 0 ;                           d) 4321x² + 21x - 4300 = 0

Bài giải

a) 35x²– 37x + 2 = 0 có a = 0, b = -37, c = 2

Do đó: a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0

nên x₁ =  1; x₂ = $\frac{2}{35}$

b) 7x² + 500x - 507 = 0 có a = 7, b = 500, c = -507

Do đó: a + b + c = 7 + 500 - 507

nên x₁  =  1;  x₂ = $-\frac{507}{7}$

c) x²-  49x - 50 = 0 có a = 1, b = -49, c = -50   

Do đó a - b + c = 1 - (-49) - 50 = 0

nên x₁  =  -1;  x₂ = $-\frac{-50}{1}$ = 50

d) 4321x² + 21x - 4300 = 0 có a = 4321, b = 21, c = -4300

Do đó a - b + c = 4321 - 21 + (-4300) = 0

nên x₁  =  -1;  x₂ = $-\frac{-4300}{4321}$ = $\frac{4300}{4321}$.

Bài 27 trang 53 sgk toán 9

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

a) x² – 7x + 12 = 0;             b) x² + 7x + 12 = 0

Bài giải:

a) x² – 7x + 12 = 0 có a = 1, b = -7, c = 12

nên x₁ + x₂ = $-\frac{-7}{1}$ = 7 = 3 + 4

x₁x₂ = $\frac{12}{1}$ = 12 = 3 . 4

Vậy x₁ = 3, x₂ = 4.

b) x² + 7x + 12 = 0 có a = 1, b = 7, c = 12

nên x₁ + x₂ = $-\frac{7}{1}$ = -7 = -3 + (-4)

x₁x₂ = $\frac{12}{1}$ = 12 = (-3) . (-4)

Vậy x₁ = -3, x₂ = -4.

Bài 28 trang 53 sgk toán 9

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 32, uv = 231;            b) u + v = -8, uv = -105;

c) u + v = 2, uv = 9

Bài giải:

a) u và v là nghiệm của phương trình: x² – 32x + 231 = 0

∆’ = 16² – 231 = 256 – 231 = 25, √∆' = 5 . x₁ = 21, x₂ = 11

Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21

b) u, v là nghiệm của phương trình:

x² + 8x – 105 = 0, ∆’ = 16 + 105 = 121, √∆' = 11 . x = -4 + 11 = 7

x₂ = -4 – 11 = -15

Vậy u = 7, v = -15 hoặc u = -15, v = 7

c) Vì 2² – 4 . 9 < 0 nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện đã cho.

Bài 29 trang 54 sgk toán 9

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) 4x² + 2x – 5 = 0;                      b) 9x² – 12x + 4 = 0;

c) 5x² + x + 2 = 0;                       d) 159x² – 2x – 1 = 0

 Bài giải:

a) Phương trình 4x² + 2x – 5 = 0 có nghiệm vì a = 4, c = -5 trái dấu nhau nên

x₁ + x₂ = $-\frac{1}{2}$, x₁x₂ = $-\frac{5}{4}$

b) Phương trình 9x² – 12x + 4 = 0 có ∆' = 36 - 36 = 0

x₁ + x₂ = $\frac{12}{9}$ = $\frac{4}{3}$,  x₁x₂ = $\frac{4}{9}$

c) Phương trình 5x²+ x + 2 = 0 có ∆ = 1² - 4 . 5 . 2 = -39 < 0

Phương trình vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích các nghiệm.

d) Phương trình 159x² – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt vì a và c trái dấu

x₁ + x₂ = $\frac{2}{159}$, x₁x₂ = $-\frac{1}{159}$

Bài 30 trang 54 sgk toán 9

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.

a) x²– 2x +  m = 0;                        b) x² – 2(m – 1)x +  m² = 0

Bài giải

a) Phương trình x²– 2x +  m = 0 có nghiệm khi  ∆' = 1 - m ≥ 0 hay khi m ≤ 1

Khi đó x₁ + x₂ = 2, x₁ . x₂ = m

b) Phương trình x² – 2(m – 1)x +  m² = 0 có nghiệm khi

   ∆' = m²  - 2m + 1 – m² = 1 – 2m ≥ 0 hay khi m  ≤ $\frac{1}{2}$

Khi đó x₁ + x₂ = -2(m – 1), x₁ . x₂ = m²

Bài 31 trang 54 sgk toán 9

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) 1,5x² – 1,6x + 0,1 = 0;           b) √3x² – (1 - √3)x – 1 = 0

c) (2 - √3)x² + 2√3x – (2 + √3) = 0;

d) (m – 1)x² – (2m + 3)x + m + 4 = 0 với m ≠ 1.
Bài giải:

a) Phương trình 1,5x² – 1,6x + 0,1 = 0

Có a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0 nên x₁ = 1; x₂ = $\frac{0,1}{15}$

b) Phương trình √3x² – (1 - √3)x – 1 = 0

Có a – b + c = √3 + (1 - √3) + (-1) = 0 nên x₁ = -1, x₂ = $-\frac{-1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$

c) (2 - √3)x² + 2√3x – (2 + √3) = 0

Có a + b + c = 2 - √3 + 2√3 – (2 + √3) = 0

Nên x₁ = 1, x₂ = $\frac{-(2+\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}}$  = -(2 + √3)² = -7 - 4√3

d) (m – 1)x² – (2m + 3)x + m + 4 = 0

Có a + b + c = m – 1 – (2m + 3) + m + 4 = 0

Nên x₁ = 1, x₂ = $\frac{m+4}{m-1}$

Bài 32 trang 54 sgk toán 9

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 42, uv = 441;                         b) u + v = -42, uv = -400;

c) u – v = 5, uv = 24.

Bài giải:

a) u + v = 42, uv = 441 => u, v là nghiệm của phương trình:

x² – 42x + 441 = 0

∆’ = 21² – 441 = 441 – 441 = 0, √∆’ = 0; x₁ = x₂ = 21

Vậy u = v = 21

b) u + v = -42, uv = -400, u, v là nghiệm của phương trình:

x² + 42x – 400 = 0

∆’ = 441 + 400 = 841, √∆’ = 29; x₁ = 8, x₂ = -50. Do đó:

u = 8, v = -50 hoặc u = -50, v = 8

c) u – v = 5, uv = 24. Đặt –v = t, ta có u + t = 5, ut = -24, ta tìm được:

u = 8, t = -3 hoặc u = -3, t = 8. Do đó:

u = 8, v = 3 hoặc u = -3, t = 8.

Bài 33 trang 54 sgk toán 9

Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm là x₁ và x₂ thì tam thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a)    2x² – 5x + 3;                     b) 3x² + 8x + 2.

Bài giải:

Biến đổi vế phải: a(x – x₁)(x – x₂) = ax² – a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂

= ax² – a$\left(-\frac{b}{a}\right)$x + $a\frac{c}{a}$ = ax² + bx + c

Vậy phương trình ax²+ bx + c = 0 có nghiệm là x₁, x₂ thì:

                  ax²+ bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Áp dụng:

a) Phương trình 2x² – 5x + 3 = 0 có a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 nên có hai nghiệm là x₁ = 1, x₂ = $\frac{3}{2}$ nên:

2x² – 5x + 3 = 2(x – 1)(x₂ - $\frac{3}{2}$) = (x – 1)(2x – 3)

b) Phương trình 3x² + 8x + 2 có a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2.

Nên ∆’ = 4² – 3 . 2 = 10, có hai nghiệm là:

x₁ = $\frac{-4-\sqrt{10}}{3}$, x₂ = $\frac{-4+\sqrt{10}}{3}$

nên: 3x² + 8x + 2 = 3(x - $\frac{-4-\sqrt{10}}{3}$)(x - $\frac{-4+\sqrt{10}}{3}$)

= 3(x + $\frac{4+\sqrt{10}}{3}$)(x + $\frac{4-\sqrt{10}}{3}$)