Bài 40 trang 27 SGK Toán 9

Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:

a)$\{\begin{array}{c}2x+5y=2\\ \frac{2}{5}x+y=1\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}0,2x+0,1y=0,3\\ 3x+y=5\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}\frac{3}{2}x-y=\frac{1}{2}\\ 3x-2y=1\end{array}$

Hướng dẫn làm bài:

a) Giải hệ phương trình: 

$\{\begin{array}{c}2x+5y=2\left(1\right)\\ \frac{2}{5}x+y=1\left(2\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x+5y=2\left(1^{\prime }\right)\\ -2x-5y=-5\left(2^{\prime }\right)\end{array}$

Cộng (1’) với (2’) vế theo vế, ta được: 0x + 0y = -3

Phương trình này vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Minh họa hình học kết quả tìm được:

- Vẽ đồ thị hàm số 2x + 5y = 2.

Cho y = 0 ⇒  x = 1. Ta xác định được điểm A(1; 0)

Cho y = 1 ⇒ x = -1,5. Ta xác định được điểm B(-1,5; 1).

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A và B

-Vẽ đồ thị hàm số  $\frac{2}{5}x+y=1\iff 2x+5y=5$

Cho x = 0 ⇒ y = 1. Ta xác định được điểm C(0; 1)

Cho y = 2 ⇒ x = -2,5. Ta xác định được điểm D(-2,5; 2)

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm C và D.

Kết luận: Đồ thị hai hàm số trên song song. Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình vô nghiệm.

b) Giải hệ phương trình:  

$\{\begin{array}{c}0,2x+0,1y=0,3\left(1\right)\\ 3x+y=5\left(2\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{c}-2x-y=-3\left(1^{\prime }\right)\\ 3x+y=5\left(2^{\prime }\right)\end{array}$

Cộng (1’) với (2’) vế theo vế, ta được x = 2

Thế x = 2 vào (2), ta được: 6 + y = 5 ⇔ y = -1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x = 2; y = -1)

Minh họa hình học:

- Đồ thị hàm số 0,2x + 0,1y = 0,3 là một đường thẳng đi qua hai điểm:

A(x = 0; y = 3) và B(x = 1,5; y = 0)

- Đồ thị hàm số 3x + y = 5 là một đường thẳng đi qua hai điểm C(x = 0; y = 5) và D(x = 1; y = 2)

- Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại điểm: M(x = 2; y = -1).

Vậy (2; -1) là một nghiệm của hệ phương trình.

c) Giải hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}\frac{3}{2}x-y=\frac{1}{2}\left(1\right)\\ 3x-2y=1\left(2\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{c}-3x+2y=-1\left(1^{\prime }\right)\\ 3x-2y=1\left(2^{\prime }\right)\end{array}$

Cộng (1’) và (2’) vế theo vế, ta có: 0x + 0y = 0.

Phương trình này có vô số nghiệm.

Nghiệm tổng quát là $\left(x;\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\right)$ với x ∈ R

Minh họa hình học

- Đồ thị hàm số (1) là đường thẳng đi qua hai điểm A(0; $-\frac{1}{2}$) và B(1;1) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ phương trinh có vô số nghiệm.

Bài 41 trang 27 SGK Toán 9

Giải các hệ phương trình sau:

a) 

$\{\begin{array}{c}x\sqrt{5}-\left(1+\sqrt{3}\right)y=1\\ \left(1-\sqrt{3}\right)x+y\sqrt{5}=1\end{array}$

b)  

$\{\begin{array}{c}\frac{2x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=\sqrt{2}\\ \frac{x}{x+1}+\frac{3y}{y+1}=-1\end{array}$

Hướng dẫn làm bài:

a) 

$\{\begin{array}{c}x\sqrt{5}-\left(1+\sqrt{3}\right)y=1\left(1\right)\\ \left(1-\sqrt{3}\right)x+y\sqrt{5}=1\left(2\right)\end{array}$

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ (1) ta có  $x=\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)y+1}{\sqrt{5}}\left(3\right)$

Thế (3) vào (2), ta được:  

$\begin{array}{c}\left(1-\sqrt{3}\right)\left[\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)y+1}{\sqrt{5}}\right]+y\sqrt{5}=1\\ \iff \left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)y+\left(1-\sqrt{3}\right)+5y=\sqrt{5}\\ \iff -2y+5y=\sqrt{5}+\sqrt{3}-1\iff y=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}{3}\end{array}$

Thế y vừa tìm được vào (3), ta được:

$x=\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}{3}\right)+1}{\sqrt{5}}$ hay  $x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3};\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}{3}\right)$

b)Giải hệ phương trình: (I) 

$\{\begin{array}{c}\frac{2x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=\sqrt{2}\\ \frac{x}{x+1}+\frac{3y}{y+1}=-1\end{array}$

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt $u=\frac{x}{x+1};v=\frac{y}{y+1}$

Thay vào hệ (I), ta có hệ mới với ẩn là u và c

Ta được:

$(-2)\{\begin{array}{c}2u+v=\sqrt{2}\left(1^{\prime }\right)\\ u+3v=-1\left(2^{\prime }\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2u+v=\sqrt{2}\left(3\right)\\ -2u-6v=2\left(4\right)\end{array}$

Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được: $-5x=2+\sqrt{2}\iff v=\frac{-\left(2+\sqrt{2}\right)}{5}$

Thay $v=\frac{-\left(2+\sqrt{2}\right)}{5}$ vào (1’), ta được:

$2u=\frac{2+\sqrt{2}}{5}+\sqrt{2}\iff 2u=\frac{2+\sqrt{2}+5\sqrt{2}}{5}=\frac{2+6\sqrt{2}}{5}\iff u=\frac{1+3\sqrt{2}}{5}$

Với giá trị của u,v vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm x, y.

Ta có: 

$\{\begin{array}{c}\frac{x}{x+1}=\frac{1+3\sqrt{2}}{5}\\ \frac{y}{y+1}=\frac{-2-\sqrt{2}}{5}\end{array}đk\{\begin{array}{c}x\ne -1\\ y\ne -1\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=\left(x+1\right)\left(\frac{1+3\sqrt{2}}{5}\right)\\ y=\left(y+1\right)\frac{\left(-2-\sqrt{2}\right)}{5}\end{array}$

$\{\begin{array}{c}5x=\left(x+1\right)\left(1+3\sqrt{2}\right)\\ 5y=\left(y+1\right)\left(-2-\sqrt{2}\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{1+3\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}\\ y=\frac{2+\sqrt{2}}{7+\sqrt{2}}\end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $\left(\frac{1+3\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}};\frac{2+\sqrt{2}}{7+\sqrt{2}}\right)$ thỏa mãn điều kiện

Bài 42 trang 27 SGK Toán 9

Giải hệ phương trình

$\{\begin{array}{c}2x-y=m\\ 4x-m^{2}y=2\sqrt{2}\end{array}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) m = -√2       b) m = √2        c) m = 1

Hướng dẫn làm bài:

(I) $\{\begin{array}{c}2x-y=m\left(1\right)\\ 4x-m^{2}y=2\sqrt{2}\left(2\right)\end{array}$

Ta có (1) ⇔ y = 2x – m (3)

Thế (3) vào (2), ta có:

$4x-m^2\left(2x-m\right)=2\sqrt{2}\iff 2\left(2-m^2\right)x=2\sqrt{2}-m^3(\ast )$ 

a) Với m = - √2. Thế vào phương trình (*), ta được:

2(2 – 2)x = 2√2 + 2√2 ⇔ 0x = 4√2

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Với m = √2. Thé vào phương trình (*), ta được:

2(2 – 2)x = 2√2 - 2√2 ⇔ 0x = 0

Vậy hệ trình này có vô số nghiệm.

c) Với m = 1. Thế vào phương trình (*), ta được:

$2\left(-1\right)x=2\sqrt{2}-1\iff 2x=2\sqrt{2}-1\iff x=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$ 

Thay x vừa tìm được vào (3), ta có: y = 2√2 – 2

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là: $\left(\frac{2\sqrt{2}-1}{2};2\sqrt{2}-2\right)$

Bài 43 trang 27 SGK Toán 9

Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.

Hướng dẫn làm bài:

Gọi x (m/phút) là vận tốc của người xuất phát từ A và y (m/phút) là vận tốc của người xuất phát từ B.

Điều kiện: x > 0; y > 0

- Khi gặp nhau tại điểm cách A là 2km thì người xuất phát từ A đi được 2000 mét, còn người xuất phát từ B đi được 1600 mét.

Ta có phương trình: $\frac{2000}{x}=\frac{1600}{y}\left(1\right)$ 

- Theo đề bài cho thấy người xuất phát từ B đi chậm hơn. Khi người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nghĩa là mỗi người đi được 1,8km = 1800m.

Ta có phương trình $\frac{1800}{x}+6=\frac{1800}{y}\left(2\right)$ 

Ta có hệ phương trình: (I) $\{\begin{array}{c}\frac{2000}{x}=\frac{1600}{y}\left(1\right)\\ \frac{1800}{x}+6=\frac{1800}{y}\left(2\right)\end{array}$

Đặt $u=\frac{100}{x}$ và $v=\frac{100}{y}$ . Thay vào (I), ta được:  

$\left(I\right)\iff \{\begin{array}{c}20u=16v\\ 18u+6=18v\end{array}$

Giải hệ phương trình ta được $u=\frac{4}{3}$ và $v=\frac{5}{3}$ 

- Với $\frac{100}{x}=u=\frac{4}{3}\iff x=75$ (nhận)

- $\frac{100}{y}=v=\frac{5}{3}\iff y=60$ (nhận)

Vậy vận tốc của người đi từ A là 75m/phút và người đi từ B là 60m/phút.

Bài 44 trang 27 SGK Toán 9

Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 cm² là hợp  kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 g đồng thì có thể tích là 10cm³ và 7g kẽm có thể tích là 1cm³

Hướng dẫn làm bài:

Gọi x (gam) và y (gam)lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đã cho. Điều kiện: x > 0; y > 0.

Vì khổi lượng của vật là 124 gam, ta có phương trình: x + y = 124 (1)

Khi đó, thể tích của x (gam) đồng là $\frac{10}{89}x\left(c{m}^3\right)$ và thể tích của y (gam) kẽm là  

Vì thể tích của vật là 15cm³, nên ta có phương trình: $\frac{10}{89}x+\frac{1}{7}y=15\left(2\right)$

Ta có hệ phương trinh : $\{\begin{array}{c}x+y=124\left(1\right)\\ \frac{10}{89}x+\frac{1}{7}y=15\left(2\right)\end{array}$

Giải hệ phương trình ta được x = 89 (nhận) và  y = 35 (nhận)

Vậy vật đã cho có 89 gam đồng và 35 gam kẽm.

Bài 45 trang 27 SGK Toán 9

Hai đội xây dừng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình độ II làm việc nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

Hướng dẫn làm bài:

Với năng suất ban đầu, giả sử đội I làm xong công việc trong x (ngày) và đội II làm xong công việc trong y (ngày)

Điều kiện: x, y > 12

Như vậy, mỗi ngày đội I làm được $\frac{1}{x}$ công việc và đội II làm được $\frac{1}{y}$ công việc và cả hai đội làm được $\frac{1}{12}$ công việc. Ta có phương trình:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\left(1\right)$

Trong 8 ngày làm chung, cả hai đôi làm được $\left(\frac{8}{x}+\frac{8}{y}\right)$ công việc. Do năng suất gấp đôi nên đội II mỗi ngày làm được $\frac{2}{y}$ công việc và làm xong trong 3,5 ngày nên làm được: $3,5.\frac{2}{y}=\frac{7}{y}$ công việc.

Ta có phương trình:$\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\left(1\right)\\ \frac{8}{x}+\frac{15}{y}=1\left(2\right)\end{array}$ 

Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn số phụ ta được:

x = 28 (nhận) và y = 21 (nhận)

Vậy đội I làm cong công việc trong 28 ngày, đội II làm xong công việc trong 21 ngày 

Bài 46 trang 27 SGK Toán 9

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15% , đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Hướng dẫn làm bài:

Gọi x (tấn) và y (tấn) là số tấn thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái.

Điều kiện: x > 0; y > 0

Theo đề bài ta có:

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất thu hoạch được 720 tấn thóc, nghĩ là:

x + y = 720

Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%. nghĩa là đơn vị thứ nhất thu hoạch được: $x+\frac{15}{100}x=\frac{115}{100}x$ (tấn) và đơn vị thứ hai thu hoạch được : $y+\frac{12}{100}y=\frac{112}{100}y$ (tấn).

Cả hai thu hoạch được 819 tấn, nghĩa là: $\frac{115}{100}x+\frac{112}{100}y=819$ 

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x+y=720\\ \frac{115}{100}x+\frac{112}{100}y=819\end{array}$ 

Giải hệ phương trình ta được : x = 420 (nhận) và y = 300 (nhận)

Vậy: - Năm ngoái đơn vị thứ I thi hoạch được 420 tấn thóc, đơn vị thứ II thu hoạch được 300 tấn thóc.

Năm nay đơn vị thứ I thu hoạch được: $\frac{115}{100}.420=483$ tấn thóc, đơn vị thứ II thu hoạch được $\frac{112}{100}.300=336$ tấn thóc