Bài 12 trang 106 sgk toán 9 

Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8 cm.

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD=AB.

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ $OH\perp AB$, ta có HA=HB=4cm.

Xét tam giác HOB vuông tại H, có:

$O{H}^2=O{B}^2-H{B}^2=5^2-4^2=9\Rightarrow OH=3\left(cm\right)$.

b) Vẽ $OK\perp CD$. TỨ giác KOHI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra OK=HI. Ta có HI=4-1=3cm, suy ra OK=3cm. 

Vậy OH=OK=3cm.

Hai dây AB và CD cách đều tâm nên chúng bằng nhau.

Do đó AB=CD.

Bài 13 trang 106 sgk toán 9 

Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) EH=EK

b) EA=EC.

Hướng dẫn giải:

a)Vì HA=HB nên $OH\perp AB$.

Vì KC=KD nên $OK\perp CD$.

Mặt khác, AB=CD nên OH=OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

$\Delta HOE=\Delta KOE$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra EH=EK. (1) 

b) Ta có AH=KC (một nửa của hai dây bằng nhau). (2)

Từ (1) và (2) suy ra EH+HA=EK+KC hay EA=EC.

Bài 14 trang 106 sgk toán 9

Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.

Hướng dẫn giải:

Vẽ $OH\perp AB$, đường thẳng OH cắt CD tại K. Hãy chứng minh

$OK\perp CD,$ KC=KD và AH=HB.

Tính được OH=15, suy ra OK=7.

Từ đó suy ra KD=24, suy ra CD=48.

Bài 15 trang 106 sgk toán 9 

Bài 15. Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết 

$AB>CD$.

Hãy so sánh các độ dài:

a) OH và OK;

b) ME và MF;

c) MH và MK.

Hướng dẫn giải:

a) Xét đường tròn nhỏ ta được $OH<OK$.

b) Xét đường tròn lớn ta được $ME>MF$.

c) Từ kết quả câu b) suy ra $MH>MK$.

Bài 16 trang 106 sgk toán 9

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.

Hướng dẫn giải:

Vẽ $OH\perp EF$.

Xét tam giác HOA vuông tại H ta có $OH<OA$.

Suy ra $EF>BC.$

Nhận xét. Trong các dây đi qua một điểm A ở trong đường tròn, dây vuông góc với OA là dây ngắn nhất.