Bài 32 trang 61 SGK Toán 9

a) Với những giá trị nào của m thì hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + 3 đồng biến?

b) Với những giá trị nào của k thì hàm số bậc nhất y = (5 – k)x + 1 nghịch biến?

Hướng dẫn làm bài:

a) Hàm số y = (m – 1)x + 3 là hàm số bậc nhất đối với x khi m – 1 ≠ 0 hay m ≠ 1, do đó hàm số đồng biến khi hệ số của x dương. Vậy m – 1 > 0 hay m > 1 thì hàm số đồng biến.

b) Hàm số y = (5 – k)x + 1 là hàm số bậc nhất đối với x khi 5 – k ≠ 0 hay k ≠ 5, do đó hàm số nghịch biến khi hệ số của x âm.

Vậy 5 – k < 0 hay 5 < k thì hàm số nghịch biến.

Bài 33 trang 61 SGK Toán 9

Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?

Hướng dẫn làm bài:

Các hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) đều là hàm số bậc nhất đối với x vì hệ số của x đều khác 0. Đồ thị của chúng là các đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ là b. Do đó hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung, chỉ khi tung độ góc của chúng bằng nhau: 3 + m = 5 – m => m = 1.

Vậy khi m = 1 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Bài 34 trang 61 SGK Toán 9 

Tìm giá trị của a để hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 (a ≠ 1) và y = (3 – a)x + 1 (a ≠ 3) song song với nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 có tung độ góc khác nhau (2 ≠ 1), do đó chúng song song với nhau khi các hệ số của x bằng nhau: a – 1 = 3 – a => a = 2.

Vậy, khi a = 2 thì hai đường thẳng song song với nhau.

Bài 35 trang 61 SGK Toán 9

Xác định k và m để hai đường thẳng sau đây trùng nhau:

y = kx + (m – 2) (k ≠ 0);

y = (5 – k)x + (4 – m) (k ≠ 5)

Hướng dẫn làm bài:

Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau khi và chỉ khi: k = 5 – k (1) và m – 2 = 4 – m (2)

Từ (1) ta có: k = 2,5

Từ (2) ta có: m = 3

Vậy, điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau là k = 2,5 và m = 3.

Bài 37 trang 61 SGK Toán 9 

a) Vẽ đồ thị hai hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

y = 0,5x + 2 (1);                                    y = 5 – 2x (2)

b) Gọi giao điểm của các đường thẳng y = 0,5x + 2 và y = 5 – 2x với trục hoành theo thứ tự là A, B và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là C.

Tìm tọa độ của các điểm A, B, C

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC và BC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

d) Tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1) và (2) với trục Ox (làm tròn đến phút).

Hướng dẫn làm bài:

a) Đồ thị hàm số y = 0,5x + 2 là đường thẳng đi qua các điểm (0; 2) và (-4; 0)

Đồ thị hàm số y = 5 – 2x là đường thẳng đi qua các điểm (0; 5) và (2,5; 0)

b) Ta có A(-4; 0), B(2,5; 0)

Tìm tọa độ điểm C, ta có:

0,5x + 2 = 5 – 2x ⇔ 2,5x = 3

                               ⇔ x = 1,2

Do đó y = 0,5 . 1,2 + 2 = 2,6. Vậy C (1,2; 2,6)

c) Gọi D là hình chiếu của C trên Ox ta có:

CD = 2,6; AB = AO + OB = 4 + 2,5 = 6,5 (cm)

∆ACD vuông tại D nên AC² = CD² + DA²

$\Rightarrow AC=\sqrt{2,6^2+5,2^2}=\sqrt{33,8}\approx 5,81\left(cm\right)$

 Tương tự : $BC=\sqrt{B{D}^2+C{D}^2}=\sqrt{1,3^2+2,6^2}=\sqrt{8,45}\approx 2,91\left(cm\right)$

d) Ta có ∆ACD vuông tại D nên $tg\widehat{CAD}=\frac{CD}{AD}=\frac{2,6}{5,2}=\frac{1}{2}$

 $\Rightarrow \widehat{CAD}\approx {26}^0{34}^{\prime }$. Góc tạo bởi đường thẳng $y=\frac{1}{2}x+2$ và trục Ox là 26⁰34’

Ta có ∆CBD vuông tại D nên $tg\widehat{CBD}=\frac{CD}{BD}=\frac{2,6}{1,3}=2\Rightarrow \widehat{CBD}\approx {63}^0{26}^{\prime }$ 

Góc tạo bởi đường thẳng y = 5 – 2x và trục Ox là 180⁰ – 63⁰26’ ≈ 116⁰34’

Bài 38 trang 62 SGK Toán 9 

a) Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

y = 2x (1);

y = 0,5x (2);

y = -x + 6 (3)

b) Gọi các giao điểm của đường thẳng có phương trình (3) với hai đường thẳng có phương trình (1) và (2) theo thứ tự là A và B. Tìm tọa độ của hai điểm A và B.

c) Tính các góc của tam giác OAB.

Hướng dẫn câu c)

Tính OA, OB rồi chứng tỏ tam giác OAB là tam giác cân.

Tính $\widehat{AOB}=\widehat{AOx}-\widehat{BOx}$ 

Hướng dẫn làm bài:

a) Đồ thị xem hình bên

b) Tìm tọa độ điểm A.

-x + 6 = 2x ⇔ 6 = 2x + x ⇔ x = 3

x = 2 thì y = -2 + 6 = 4 nên A(2; 4)

Tìm tọa độ điểm B.

-x + 6 = 0,5x ⇔ 6 = 0,5x + x ⇔ x = 4

Với x = 4 thì y = -4 + 6 = 2 nên B(4;2)

c)  

$\begin{array}{c}O{A}^2=2^2+4^2=20\Rightarrow OA=\sqrt{20}\\ O{B}^2=4^2+2^2=20\Rightarrow OB=\sqrt{20}\\ OA=OB\left(=\sqrt{20}\right)\end{array}$

⇒ ∆OAB cân tại O

Ta có $tg\widehat{BOx}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BOx}\approx {26}^0{34}^{\prime }$

và  $tg\widehat{AOx}=\frac{4}{2}=2\Rightarrow \widehat{AOx}\approx {63}^0{26}^{\prime }$

Do đó $\widehat{AOB}=\widehat{AOx}-\widehat{BOx}={36}^0{52}^{\prime }$

Nên $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\approx \frac{{180}^0-{36}^0{52}^{\prime }}{2}={71}^0{34}^{\prime }$