Bài 32 trang 128 sgk toán lớp 8

a) Hãy vẽ một tứ giác có độ dài hai đường chéo là 3,6cm, 6cm và hai đường chéo đó vuông góc với nhau. Có thể vẽ được bao nhiêu tứ giác như vậy? Hãy tính diện tích mỗi tứ giác vừa vẽ?

b) Hãy tính diện tích hình vuông có độ dài đường chéo là d.

Hướng dẫn giải:

a) Học sinh tự vẽ tứ giác thỏa mãn điều kiện đề bài, chẳng hạn như tứ giác ABCD ở hình dưới có 

AC = 6cm

BD = 3,6cm

AC $\perp$ BD

Có thể vẽ được vô số tứ giác theo yêu cầu từ đề bài:

AC = 6cm

BD = 3,6cm

AC $\perp$ BD tại I với I là điểm tùy ý thuộc đoạn AC và BD

Diện tích củ tứ giác vừa vẽ:

                  S_ABCD = $\frac{1}{2}$ AC. BD = $\frac{1}{2}$ 6. 3,6 = 10,8 (cm²)

b) Diện tích hình vuông có độ dài đường chéo là d

Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau, nên diện tích là:

                  S = $\frac{1}{2}$ d.d = $\frac{1}{2}$ d²

Bài 33 trang 128 sgk toán lớp 8

Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng đường chéo của một hình thoi cho trước và có diện tích bằng diện tích của hình thoi đó. Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi

Hướng dẫn giải:

Cho hình thoi MNPQ, vẽ hình chữ nhật có một cạnh là đường chéo MP, cạnh kia bằng IN ( IN= $\frac{1}{2}$ NQ).

Khi đó diện tích của hình chữ nhật MPBA bằng diện tích hình thoi MNPQ.

Thật vậy S_MPBA = MP. IN = MP. $\frac{1}{2}$ NQ

                                          = $\frac{1}{2}$ MP. NQ = S_MNPQ

Bài 34 trang 128 sgk toán lớp 8

Cho một hình chữ nhật. Vẽ tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật . Vì sao tứ giác này là một hình thoi? So sánh diện tích hình thoi và diện tích hình chữ nhật, từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.

Hướng dẫn giải:

Vẽ hình chữ nhật ABCD với các trung điểm các cạnh M, N, P, Q.

Vẽ tứ giác MNPQ 

Ta có MN = PQ  = $\frac{1}{2}$BD

           NP = MQ = $\frac{1}{2}$ AC

Mà AC = BD 

Nên tứ giác MNPQ là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.

Dễ dàng chứng minh rằng : ∆AMN = ∆INM , ∆BPN = ∆NIP

∆PCQ = ∆IQP, ∆DMQ = IQM

Do đó 

S_MNPQ =  $\frac{1}{2}$ S_ABCD  mà S_ABCD = AB. AD = MP. NQ

Vậy S_MNPQ =  $\frac{1}{2}$ MP.NQ

Bài 35 trang 129 sgk toán lớp 8

Tính diện tích hình thoi có cạnh dài 6cm và một trong các góc của nó có số đo là 

${60}^{\circ }$

Hướng dẫn giải:

Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = 6cm, $\hat{A}$ = ${60}^{\circ }$

Khi đó ∆ABC là tam giác đều. Từ B vẽ BH $\perp$ AD thì HA = HD. Nên tam giác vuông AHB là nửa tam giác đều, BH là đường cao tam giác đều cạnh 6cm, BH = $\frac{6\sqrt{3}}{2}$ = 3√ 3 (cm) 

Nên S_ABCD = BH. AD = 3√ 3. 6 = 18√ 3 (cm²)

Cách khác:

∆ABD là tam giác đều nên BD = AB = 6cm, AI là đường cao tam giác nên AI = $\frac{6\sqrt{3}}{2}$ = 3√ 3 (cm) $\Rightarrow$ AC = 6√ 3 (cm)

Nên S_BCD = $\frac{1}{2}$ BD. AC = $\frac{1}{2}$ 6. 6√ 3 = 18√ 3 (cm²)

Cách tính độ dài đường cao BH:

Theo định lí Pitago, tam giác vuông ABH có:

BH² = AB² – AH² = AB² - ${\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$

                             = AB² - $\frac{A{B}^2}{4}$ = $\frac{3A{B}^2}{4}$.

Nên BH = $\frac{AB.\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{6\sqrt{3}}{2}$ = 3√ 3 (cm)

Tổng quát: Đường cao tam giác đều cạnh a có độ dài là: h_a = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Bài 36 trang 129 sgk toán lớp 8 

Cho một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Giả sử hình thoi ABCD và hình vuông MNPQ có cùng chu vi là 4a. 

Suy ra cạnh hình thoi và cạnh hình vuông đều có độ dài là a

Ta có:  S_MNPQ = a²

Từ đỉnh góc tù A của hình thoi ABCD vẽ đường cao AH có độ dài h.

Khi đó S_ABCD =  ah

Nhưng h ≤ a (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên) nên ah ≤ a²

Vậy S_ABCD  ≤  S_MNPQ

Dấu "=" xảy ra khi h = a hay H trùng với D, nghĩa là hình thoi ABCD trở thành hình vuông.