Bài 4 trang 130 sgk toán 8

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau tại $x=-\frac{1}{3}$ :

 $\left[\frac{x+3}{{\left(x-3\right)}^2}+\frac{6}{x^2-9}-\frac{x-3}{{\left(x+3\right)}^2}\right]\left[1:\left(\frac{24x^2}{x^4-81}-\frac{12}{x^2+9}\right)\right]$

Hướng dẫn làm bài:

+Ngoặc vuông thứ nhất:

 $\left[\frac{x+3}{{\left(x-3\right)}^2}+\frac{6}{x^2-9}-\frac{x-3}{{\left(x+3\right)}^2}\right]\frac{x+3}{{\left(x-3\right)}^2}+\frac{6}{x^2-9}-\frac{x-3}{{\left(x+3\right)}^2}$

$=\frac{x+3}{{\left(x-3\right)}^2}+\frac{6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{x-3}{{\left(x+3\right)}^2}\left[1:\left(\frac{24x^2}{x^4-81}-\frac{12}{x^2+9}\right)\right]$

$=\frac{{\left(x+3\right)}^2+6\left(x-3\right)\left(x+3\right)-{\left(x-3\right)}^2}{{\left(x-3\right)}^2{\left(x+3\right)}^2}$

$=\frac{x^3+9x^2+27x+27+6x^2-54-\left(x^3-9x^2+27x-27\right)}{{\left(x-3\right)}^2{\left(x+3\right)}^2}$

$=\frac{24x^2}{{\left(x-3\right)}^2{\left(x+3\right)}^2}$

$=\frac{24x^2}{{\left(x^2-9\right)}^2}$

+Ngoặc vuông thứ hai:

 $1:\left(\frac{24x^2}{x^4-81}-\frac{12}{x^2+9}\right)=1:\left[\frac{24x^2}{\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)}-\frac{12}{x^2+9}\right]$

$=1:\left(\frac{24x^2-12\left(x^2-9\right)}{\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)}\right)$

$=1:\frac{12x^2+108}{\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)}$

$=1.\frac{\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)}{12x^2+108}$

$=\frac{\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)}{12x^2+108}$

$=\frac{\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)}{12\left(x^2+9\right)}$

$=\frac{x^2-9}{12}$

Nên 
  $\left[\frac{x+3}{{\left(x-3\right)}^2}+\frac{6}{x^2-9}-\frac{x-3}{{\left(x+3\right)}^2}\right]\left[1:\left(\frac{24x^2}{x^4-81}-\frac{12}{x^2+9}\right)\right]$

$=\left[\frac{x+3}{{\left(x-3\right)}^2}+\frac{6}{x^2-9}-\frac{x-3}{{\left(x+3\right)}^2}\right]\frac{24x^2}{{\left(x^2-9\right)}^2}.\frac{x^2-9}{12}$

$=\frac{2x^2}{x^2-9}\left[1:\left(\frac{24x^2}{x^4-81}-\frac{12}{x^2+9}\right)\right]$

Tại $x=-\frac{1}{3}$ giá trị của biểu thức là:

$\frac{2{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2}{{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2-9}=\frac{2.\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}-9}=\frac{\frac{2}{9}}{-\frac{80}{9}}=-\frac{1}{40}$

Bài 6 trang 131 sgk toán 8

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức M có giá trị là một số nguyên:

$M=\frac{10x^2-7x-5}{2x-3}$

Hướng dẫn làm bài:

M có giá trị nguyên với giá trị nguyên của x thì phải có điều kiện $\frac{7}{2x-3}$ là nguyên. Tức 2x – 3 là ước của 7. Hay 2x – 3 bằng $\pm 1;\pm 7$

+2x – 3 = 1 =>2x = 4 => x = 2

+2x – 3 = -1 => 2x = 2 => x =1

+2x – 3 = 7 => 2x = 10 => x = 5

+2x – 3 = -7 => 2x = -4 => x = -2

Vậy x ∈ {-2;1;2;5}

Bài 7 trang 131 sgk toán 8

Giải các phương trình:

a) $\frac{4x+3}{5}-\frac{6x-2}{7}=\frac{5x+4}{3}+3$

b) $\frac{3\left(2x-1\right)}{4}-\frac{3x+1}{10}+1=\frac{2\left(3x+2\right)}{5}$

c) $\frac{x+2}{3}+\frac{3\left(2x-1\right)}{4}-\frac{5x-3}{6}=x+\frac{5}{12}$

Hướng dẫn làm bài:                    

a) Khử mẫu ta được:

21(4x +3) – 15(6x – 2) = 35(5x + 4) + 105.3

⇔ 84x + 63 – 90 + 30 = 175x + 140 + 315

⇔ 84x – 90 – 175x = 140 + 315 – 63 – 30

⇔ -181x = 362

⇔ x =-2

b) Quy đồng và khử mẫu ta được :

15(2x – 1) – 2(3x + 1) + 20 = 8(3x + 2)

⇔ 30x – 15 – 6x – 2 + 20 = 24x + 16

⇔ 30x – 6x – 24x = 16 – 20 + 15 +2

⇔ 0x= 13(phương trình vô nghiêm).

c) $\frac{x+2}{3}+\frac{3\left(2x-1\right)}{4}-\frac{5x-3}{6}=x+\frac{5}{12}$

⇔ 4(x + 2) + 9(2x – 1) – 2(5x – 3) = 12x + 5

⇔ 4x + 8 + 18x – 9 – 10x + 6 = 12x + 5

⇔ 4x +18x – 10x – 12x = 5 – 8 + 9 – 6

⇔ 0x = 0

Phương trình nghiệm đúng với mọi x.

Bài 8 trang 131 sgk toán 8

Giải các phương trình

a)|2x – 3| = 4;

b)|3x – 1| - x = 2.

Hướng dẫn làm bài:       

a)|2x – 3| = 4 ⇔ $[\begin{array}{c}2x-3=4\\ 2x-3=-4\end{array}\iff [\begin{array}{c}2x=7\\ 2x=-1\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{7}{2}\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}$

b)|3x – 1| - x = 2 ⇔ |3x – 1| = x + 2

⇔$[\begin{array}{c}x+2\ge 0\\ 3x-1=x+2;3x-1=-\left(x+2\right)\end{array}$

⇔$[\begin{array}{c}x\ge -2\\ x=\frac{3}{2};x=-\frac{1}{4}\end{array}$

⇔$[\begin{array}{c}x=\frac{3}{2}\\ x=-\frac{1}{4}\end{array}$

Bài 9 trang 131 sgk toán 8

Giải các phương trình:

$\frac{x+2}{98}+\frac{x+4}{96}=\frac{x+6}{94}+\frac{x+8}{92}$

Hướng dẫn làm bài:

 $\frac{x+2}{98}+\frac{x+4}{96}=\frac{x+6}{94}+\frac{x+8}{92}$

⇔$\left(\frac{x+2}{98}+1\right)+\left(\frac{x+4}{96}+1\right)=\left(\frac{x+6}{94}+1\right)+\left(\frac{x+8}{92}+1\right)$

⇔$\frac{x+100}{98}+\frac{x+100}{96}=\frac{x+100}{94}+\frac{x+100}{92}$

⇔$\frac{x+100}{98}+\frac{x+100}{96}\left(x+100\right)\left(\frac{1}{98}+\frac{1}{96}-\frac{1}{94}-\frac{1}{92}\right)=0=\frac{x+100}{94}+\frac{x+100}{92}$

⇔x + 100 = 0

⇔x = -100

(Vì $\frac{1}{98}+\frac{1}{96}-\frac{1}{94}-\frac{1}{92}\ne 0)$

Bài 10 trang 131 sgk toán 8

Giải các phương trình:

a) $\frac{1}{x+1}-\frac{5}{x-2}=\frac{15}{\left(x+1\right)\left(2-x\right)};$  

b) $\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{5x-2}{4-x^2}$ . 

Hướng dẫn làm bài

a) $\frac{1}{x+1}-\frac{5}{x-2}=\frac{15}{\left(x+1\right)\left(2-x\right)}$                

ĐKXĐ: $x\ne -1;x\ne 2$         

⇔$\frac{1}{x+1}+\frac{5}{2-x}=\frac{15}{\left(x+1\right)\left(2-x\right)}$

⇔2 –x + 5(x + 1) =15

⇔2 – x + 5x + 5 = 15

⇔x = 2 (loại) 

Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi $x\ne \pm 2$

b) $\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{5x-2}{4-x^2}$

ĐKXĐ:$x\ne \pm 2$

⇔ $\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{5x-2}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}$

⇔$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=-\frac{5x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

⇔(x -1)(x -2) – x (x +2) = -(5x – 2)

⇔$x^2-3x+2-x^2-2x=-5x+2$

⇔-0x = 0

Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\ne \pm 2$

Bài 11 trang 131 sgk toán 8 

Giải các phương trình:

a) $3x^2+2x-1=0$ ;                                                 

b) $\frac{x-3}{x-2}+\frac{x-2}{x-4}=3\frac{1}{5}$

Hướng dẫn làm bài

a) $3x^2+2x-1=0$

⇔3x² – 3 + 2x + 2 = 0

⇔3(x² – 1) + 2(x + 1) = 0

⇔3(x – 1)(x + 1) + 2(x + 1) = 0

⇔(x + 1)(3x – 3 + 2) =0

⇔(x + 1)(3x – 1)=0

⇔$[\begin{array}{c}x+1=0\\ 3x-1=0\end{array}$

⇔$[\begin{array}{c}x=-1\\ x=\frac{1}{3}\end{array}$

Vậy $S=\left\{-1;\frac{1}{3}\right\}$                                

b) $\frac{x-3}{x-2}+\frac{x-2}{x-4}=3\frac{1}{5}$

ĐKXĐ: $x\ne 2;x\ne 4$

Khử mẫu ta được:

5(x – 3)(x – 4) + 5 (x – 2)² = 16(x – 2) (x – 4)

⇔5(x² – 7x +12) + 5(x² – 4x + 4) = 16(x² – 6x + 8)

⇔10x² – 55x + 80 = 16x² – 96x + 128

⇔6x² – 41x + 48 = 0

⇔6x² – 9x – 32x+ 48 = 0

⇔3x(2x – 3) – 16(2x – 3) = 0

⇔(2x – 3)(3x – 16) = 0

⇔$[\begin{array}{c}2x-3=0\\ 3x-16=0\end{array}$

⇔$[\begin{array}{c}x=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}\\ x=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}\end{array}$

Các nghiệm đều thỏa mãn ĐKXĐ:$x\ne 2,x\ne 4$

Vậy $S=\left\{1\frac{1}{2};5\frac{1}{3}\right\}$

Bài 12 trang 131 sgk toán 8 

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB

Hướng dẫn làm bài

Gọi độ dài quãng đường AB là x (km), (x > 0).

Thời gian đi từ A đến B: $\frac{x}{25}$ (giờ)

Thời gian đi từ B đến A: $\frac{x}{30}$ (giờ)

20 phút = $\frac{1}{3}$ giờ

Theo đề bài ta có phương trình:

 $\frac{x}{25}-\frac{x}{30}=\frac{1}{3}\iff 6x-5x=50$

⇔x = 50 thỏa mãn điều kiện x > 0.

Vậy quãng đường AB dài 50 km.