Bài 1 trang 130 sgk toán 8

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)$a^2-b^2-4a+4;$                                       

b) $x^2+2x-3$

c) $4x^2{y}^2-{\left(x^2{y}^2\right)}^2$                                     

d) $2a^3-54b^3$ .

Hướng dẫn làm bài:                

a) $a^2-b^2-4a+4\iff a^2-4a+4-b^2$

= ${\left(a-2\right)}^2-b^2=\left(a-2+b\right)\left(a-2-b\right)$            

= $\left(a+b-2\right)\left(a-b-2\right)$               

b) $x^2+2x-3=x^2+2x+1-4$

=${\left(x+1\right)}^2-2^2=\left(x+1+2\right)\left(x+1-2\right)$

=$\left(x+3\right)\left(x-1\right)$

c)  $4x^2{y}^2-{\left(x^2{y}^2\right)}^2={\left(2xy\right)}^2-{\left(x^2+y^2\right)}^2$

= $\left(2xy-x^2-y^2\right)\left(2xy+x^2+y^2\right)$                     

=$-\left(x^2-2xy+y^2\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)$

=$-{\left(x-y\right)}^2{\left(x+y\right)}^2$

d) $2a^3-54b^3=2\left(a^3-27b^3\right)$

=$2\left[a^3-{\left(3b\right)}^3\right]=2\left(a-3b\right)\left(a^2+3ab+9b^2\right)$.

Bài 2 trang 130 sgk toán 8

a)Thực hiện phép chia:

(2x⁴ – 4x³ + 5x² + 2x – 3) : (2x² – 1).

b) Chứng tỏ rằng thương tìm được trong phép chia trên luôn luôn dương với mọi giá trị của x.

Hướng dẫn làm bài:

 

Vậy $2\left[a^3-{\left(3b\right)}^3\right]=2\left(a-3b\right)\left(2x^4-4x^4+5x^2+2x-3\right):\left(2x^2-1\right)=x^2-2x+3\left(a^2+3ab+9b^2\right)$

Vậy $x\in \left\{-2;1;2;5\right\}$

b) Thương tìm được có thể viết:

 $x^2-2x+3=\left(x^2-2x+1\right)+2$

= ${\left(x-1\right)}^2+2>0$ với mọi x

Vậy thương tìm được luôn luôn dương với mọi giá trị của x.

Bài 3 trang 130 sgk toán 8

Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.

Hướng dẫn làm bài:

Gọi hai số lẻ bất kì là 2a + 1 và 2b + 1 (a, b ∈ Z)

Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng :

${\left(2a+1\right)}^2-{\left(2b+1\right)}^2=\left(4a^2+4a+1\right)-\left(4b^2+4b+1\right)$

$=\left(4a^2+4a\right)-\left(4b^2+4b\right)=4a\left(a+1\right)-4b\left(b+1\right)$    

Vì tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên a(a+1) và b(b+1) chia hết cho 2.

Do đó 4a(a + 1) và 4b(b + 1) chia hết cho 8

4a(a + 1) – 4b(b + 1) chia hết cho 8.

Vậy ${\left(2a+1\right)}^2-{\left(2b+1\right)}^2$ chia hết cho 8.

 

Bài 5 trang 131 sgk toán 8

Chứng minh rằng:

 $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}$

Hướng dẫn làm bài:

Cách 1: Thực hiện phép cộng riêng từng vế:

VT: $=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}\frac{a^2\left(b+c\right)\left(c+a\right)+b^2\left(a+b\right)\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{c^2}{c+a}$

$=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}$

Tử bằng:

$=a^2\left(bc+ab+c^2+ac\right)+b^2\left(ac+a^2+bc+ab\right)+a^2\left(ab+ac+b^2+bc\right)$

$=a^{2}bc+a^{3}b+a^2{c}^2+a^{3}c+a{b}^{2}c+a^2{b}^2+b^{3}c+a{b}^3+ab{c}^3+a{c}^3+b^2{c}^2+b{c}^3$

$=a^3\left(b+c\right)+a^2\left(bc+b^2+c^2\right)+a\left(b^3+c^3+b^{2}c+b{c}^2\right)+bc\left(bc+b^2+c^2\right)\left(1\right)$ (1)

VP: $=a^3\left(b+c\right)+a^2\left(bc+b^2+c^2\right)+a\left(b^3+c^3+b^{2}c+b{c}^2\right)\frac{b^2\left(b+c\right)\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\left(c+a\right)+a^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+bc\left(bc+b^2+c^2\right)\left(1\right)$

$=b^2\left(bc+ab+c^2+ac\right)+c^2\left(ac+a^2+bc+ab\right)+a^2\left(ab+ac+b^2+bc\right)$

$=b^{3}c+a{b}^3+b^2{c}^2+a{b}^{2}c+a{c}^3+a^2{c}^2+b{c}^3+ab{c}^2+a^{3}b+a^{3}c+a^2{b}^2+a^{2}bc$

$=a^3\left(b+c\right)+a^2\left(bc+b^2+c^2\right)+a\left(b^3+c^3+b^{2}c+b{c}^2\right)+bc\left(bc+b^2+c^2\right)$ (2)

So sánh (1) và (2) ta suy ra vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được  chứng minh.

Cách 2: Xét hiệu hai vế

$a^3\left(b+c\right)+a^2\left(bc+b^2+c^2\right)+a\left(b^3+c^3+b^{2}c+b{c}^2\right)+bc\left(bc+b^2+c^2\right)\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}-\frac{c^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}-\frac{a^2}{c+a}$

$=\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{a+b}-\frac{\left(b+c\right)\left(b-c\right)}{b+c}+\frac{\left(c+a\right)\left(c-a\right)}{c+a}$

$=a-b+b-c+c-a=0$

Vậy  $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}$

Nhận xét: Cách 2 nhanh gọn hơn cách 1.