Bài 56 trang 59 sgk toán 8

Cho phân thức $\frac{3x^2+6x+12}{x^3-8}$.

a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?

b) Rút gọn phân thức.

c) Em có biết trên 1cm² bề mặt da của em có bao nhiêu con vi khuẩn không?

Tín giá trị của biểu thức đã cho tại $x=\frac{4001}{2000}$ em sẽ tìm được câu trả lời thật đáng sợ. (Tuy nhiên trong số đó chỉ có 20% là vi khuẩn có hại).

Hướng dẫn làm bài:

a) $x^3-8=x^3-2^3=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)$

Vì $x^2+2x+4=x^2+2x+1+3={\left(x+1\right)}^2+3\ge 3$

Với mọi giá trị của x nên $x^3-8\ne 0$

 Khi $x-2\ne 0hayx\ne 2$. Vậy điều kiện của biến là $x\ne 2$.

b) $\frac{3x^2+6x+12}{x^3-8}=\frac{3\left(x^2+2x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}=\frac{3}{x-2}$

c) Vì $x=\frac{4001}{2000}\ne 2$ thỏa mãn điều kiện của x nên khi đó giá trị của biểu thức đã cho bằng:

 $\frac{3}{\frac{4001}{2000}-2}=\frac{3}{\frac{4001-2.2000}{2000}}=\frac{3.2000}{4001-2.2000}=\frac{6000}{4001-4000}=6000$

Như vậy trên 1cm² bề mặt da của ta có 6000 con vi khuẩn, tuy nhiên số vi khuẩn có hai trong số đó là 6000.20%=1200 con.

Bài 57 trang 61 sgk toán 8

Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau:

a)$\frac{3}{2x-3}$ và $\frac{3x+6}{2x^2+x-6}$

b)$\frac{2}{x+4}$ và $\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}$

Hướng dẫn làm bài:

a) $\frac{3}{2x-3}$ và $\frac{3x+6}{2x^2+x-6}$

Cách 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau.

$\frac{3}{2x-3}$= $\frac{3x+6}{2x^2+x-6}$

Vì : $3\left(2x^2+x-6\right)=6x^2+3x-18$

=$6x^2+12x-9x-18$

=$2x\left(3x+6\right)-3\left(3x+6\right)$

=$\left(2x-3\right)\left(3x+6\right)$

Cách 2: Rút gọn phân thức

    $\frac{3x+6}{2x^2+x-6}=\frac{3\left(x+2\right)}{2x^2+4x-3x-6}=\frac{3\left(x+2\right)}{2x\left(x+2\right)-3\left(x+2\right)}$     

=$\frac{3\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(2x-3\right)}=\frac{3}{2x-3}$

b) $\frac{2}{x+4}$ và $\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}$

Cách 1:$\frac{2}{x+4}=\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}$

Vì : $2\left(x^3+7x^2+12x\right)=2x^3+14x^2+24x$

$=\left(x+4\right)\left(2x^2+6x\right)$

$=2x^3+6x^2+8x^2+24x=2x^3+14x^2+24x$

Nghĩa là $2\left(x^3+7x^2+12x\right)=\left(x+4\right)\left(2x^2+6x\right)$

Cách 2: $\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}=\frac{2x\left(x+3\right)}{x\left(x^2+7x+12\right)}=\frac{2\left(x+3\right)}{x^2+3x+4x+12}$

$=\frac{2\left(x+3\right)}{x\left(x+3\right)+4\left(x+3\right)}=\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{2}{x+4}$

Bài 58 trang 62 sgk toán 8

Thực hiện các phép tính sau:

a) $\left(\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1}\right):\frac{4x}{10x-5}$                     

b) $\left(\frac{1}{x^2+x}-\frac{2-x}{x+1}\right):\left(\frac{1}{x}+x-2\right);$

c) $\frac{1}{x-1}-\frac{x^3-x}{x^2+1}.\left(\frac{1}{x^2-2x+1}+\frac{1}{1-x^2}\right).$

Hướng dẫn làm bài:

a) $\left(\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1}\right):\frac{4x}{10x-5}=\frac{{\left(2x+1\right)}^2-{\left(2x-1\right)}^2}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}.\frac{10x+5}{4x}$

=$\frac{4x^2+4x+1-4x^2+4x-1}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}.\frac{5\left(2x+1\right)}{4x}$

=$\frac{8x.5\left(2x+1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right).4x}=\frac{10}{2x-1}$

b) $\left(\frac{1}{x^2+x}-\frac{2-x}{x+1}\right):\left(\frac{1}{x}+x-2\right)$

=$\left(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x-2}{x+1}\right):\frac{1+x^2-2x}{x}$

=$\frac{1+x\left(x-2\right)}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{x^2-2x+1}$

=$\frac{\left(x^2-2x+1\right)x}{x\left(x+1\right)\left(x^2-2x+1\right)}=\frac{1}{x+1}$

c) $\frac{1}{x-1}-\frac{x^3-x}{x^2+1}.\left(\frac{1}{x^2-2x+1}+\frac{1}{1-x^2}\right)$

=$\frac{1}{x-1}-\frac{x^3-x}{x^2+1}.\left[\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}-\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right]$

=$\frac{1}{x-1}-\frac{x\left(x^2-1\right)}{x^2+1}.\frac{x+1-\left(x-1\right)}{{\left(x-1\right)}^2.\left(x+1\right)}$

=$\frac{1}{x-1}-\frac{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x^2+1}.\frac{x+1-x+1}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}$

=$\frac{1}{x-1}-\frac{x\left(x-1\right)\left(x+1\right).2}{\left(x^2+1\right){\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}=\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}$

=$\frac{x^2+1-2x}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{x-1}{x^2+1}$