Bài 46 trang 57 sách giáo khoa toán 8

Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:

a) $\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$;                 b) $\frac{1-\frac{2}{x+1}}{1-\frac{x^2-2}{x^2-1}}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$ $=(1+\frac{1}{x}):(1-\frac{1}{x})=\frac{x+1}{x}:\frac{x-1}{x}=\frac{x+1}{x}.\frac{x}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}$

b) $\frac{1-\frac{2}{x+1}}{1-\frac{x^2-2}{x^2-1}}$ $=(1-\frac{2}{x+1}):(1-\frac{x^2-2}{x^2-1})$

                       $=\frac{x+1-2}{x+1}:\frac{x^2-1-(x^2-2)}{x^2-1}$

                       $=\frac{x-1}{x+1}:\frac{x^2-1-x^2+2}{x^2-1}=\frac{x-1}{x+1}:\frac{1}{(x-1)(x+1)}$

                        $=\frac{x-1}{x+1}.\frac{(x-1)(x+1)}{1}=(x-1{)}^2$.

Bài 47 trang 57 sách giáo khoa toán 8

Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định?

a) $\frac{5x}{2x+4}$;                        b) $\frac{x-1}{x^2-1}$.

Hướng dẫn giải:

a) Giá trị của phân thức này được xác định với điều kiện 2x + 4 # 0

=> 2x # -4 hay x # -2

Vậy điều kiện để phân thức $\frac{5x}{2x+4}$ được xác định với x # -2

b) Điều kiện để phân thức xác định là x² - 1 # 0 hay (x - 1)(x + 1) # 0.

Do đó x - 1 # 0 và x + 1 # 0 hay x # 1 và x # -1

Vậu điều kiện để phân thức $\frac{x-1}{x^2-1}$ được xác định là x # 1 và x # -1 

Bài 48 trang 58 sách giáo khoa toán 8

Cho phân thức 

a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?

b) Rút gọn phân thức?

c) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1

d) Có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0 hay không?

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện của x để phân thức được xác định là:

x + 2 # 0 => x # -2

b) Rút gọn phân thức:   = x + 2

c) Nếu giá trị của phân thức đã cho bằng 1 thì x + 2 = 1

Do đó x = -1. Giá trị này thoả mãn với giá trị của x.

d) Nếu giá trị của phân thức đã cho bằng 0 thì x + 2 = 0 => x = -2.

Giá trị này không thoả mãn với điều kiện của x ( x # -2). Vây không có giá trị nào của x để biểu thức đã cho có giá trị bằng 0 

Bài 49 trang 58 sách giáo khoa toán 8

Đố. Đố em tìm được một phân thức ( của một biến x) mà giá trị của nó tìm được xác định với mọi giá trị của x khác các ước của 2. 

Hướng dẫn giải:

Các ước của 2 là +1, -1, +2, -2.

(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) # 0 khi x # $\pm$1, x # $\pm$2.

Vậy có thể chọn phân thức $\frac{1}{(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)}$

Bài 50 trang 58 sgk toán 8

Thực hiện các phép tính:

a)$\left(\frac{x}{x+1}+1\right):\left(1-\frac{3x^2}{1-x^2}\right);$

b)$\left(x^2-1\right)\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}-1\right)$

Hướng dẫn làm bài:

a)$\left(\frac{x}{x+1}+1\right):\left(1-\frac{3x^2}{1-x^2}\right)=\frac{x+1+1}{x+1}:\frac{1-x^2-3x^2}{1-x^2}$

$=\frac{2x+1}{x+1}:\frac{1-4x^2}{1-x^2}=\frac{2x+1}{x+1}.\frac{1-x^2}{1-4x^2}$

$=\frac{2x+1}{x+1}.\frac{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}=\frac{1-x}{1-2x}$

 

b)$\left(x^2-1\right)\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}-1\right)=\left(x^2-1\right).\left[\frac{x+1-\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right]$

$=\left(x^2-1\right).\frac{x+1-x+1-x^2+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\left(x^2-1\right).\frac{3-x^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(3-x^2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=3-x^2$

Bài 51 trang 58 sgk toán 8

Làm các phép tính sau:

a) $\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y}{x}\right):\left(\frac{x}{y^2}-\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right);$

b) $\left(\frac{1}{x^2+4x+4}-\frac{1}{x^2-4x+4}\right):\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}\right)$

Hướng dẫn làm bài:

a) $\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y}{x}\right):\left(\frac{x}{y^2}-\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2.x+y.y^2}{x{y}^2}:\frac{x{y}^2}{x^2-xy+y^2}$

$=\frac{x^3+y^3}{x{y}^2}:\frac{x^2-xy+y^2}{x{y}^2}=\frac{x^3+y^3}{x{y}^2}.\frac{x{y}^2}{x^2-xy+y^2}$

$=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)x{y}^2}{x{y}^2\left(x^2-xy+y^2\right)}=x+y$

 

b) $\left(\frac{1}{x^2+4x+4}-\frac{1}{x^2-4x+4}\right):\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}\right)$

$=\left[\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}\right]:\frac{x-2+x+2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

$=\frac{{\left(x-2\right)}^2-{\left(x+2\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2{\left(x-2\right)}^2}.\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{2x}$

$=\frac{\left(x^2-4x+4-x^2-4x-4\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{2x{(x+2)}^2{(x-2)}^2}$

$=\frac{-8x}{2x{(x+2)}^2{(x-2)}^2}=\frac{4}{{(x+2)}^2{(x-2)}^2}$

Bài 52 trang 58 sgk toán 8

Chứng tỏ rằng với (a là một số nguyên), giá trị của biểu thức

 $\left(a-\frac{x^2+a^2}{x+a}\right).\left(\frac{2a}{x}-\frac{4a}{x-a}\right)$  là một số chẵn.

Hướng dẫn làm bài:

Điều kiện của biến để giá trị của biểu thức được xác định là :$x\ne 0,x\ne \pm a$ ( a là một số nguyên)

Ta có :$\left(a-\frac{x^2+a^2}{x+a}\right).\left(\frac{2a}{x}-\frac{4a}{x-a}\right)=\frac{ax+a^2-x^2-a^2}{x+a}.\frac{2ax-2a^2-4ax}{x\left(x-a\right)}$

$=\frac{x\left(a-x\right)2a\left(-a-x\right)}{x\left(a+a\right)\left(x-a\right)}=2a$

Vì a là số nguyên nên 2a là số chẵn.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số chẵn.

Bài 53 trang 58 sgk toán 8

a)Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số :

$1+\frac{1}{x}$;                 

$1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$ ;            

$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$  ;

b)Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}}$

thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán đó.

Hướng dẫn làm bài:

a)+$1+\frac{1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$

Áp dụng câu a) ta có :

 $1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{\frac{x+1}{x}}=1+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1+x}{1+x}=\frac{2x+1}{x+1}$

Dùng kết quả câu b) ta có :

$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}=1+\frac{1}{\frac{2x+1}{x+1}}=1+\frac{x+1}{2x+1}=\frac{2x+1+x+1}{2x+1}=\frac{3x+2}{2x+1}$ 

b)Đối với các biểu thức có dạng đã cho có thể dự đoán như sau :

Qua các kết quả của các bài ở câu a ta thấy kết quả tiếp theo sau là một phân thức mà tử bằng tổng của tử và mẫu, còn mẫu là tử của kết quả vế trước đó.

Như vậy có thể dự đoán rằng nếu biểu thức có 4 gạch phân số thì kết quả là $\frac{5x+3}{3x+2}$, và trong trường hợp này có 5 gạch phân số, kết quả sẽ là $\frac{8x+5}{5x+3}$ .

Thật vậy :  $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}}=1+\frac{1}{\frac{3x+2}{2x+1}}=1+\frac{2x+1}{3x+2}=\frac{3x+2+2x+1}{3x+2}=\frac{5x+3}{3x+2}$

Do đó $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}}=1+\frac{1}{\frac{5x+3}{3x+2}}$

=$1+\frac{3x+2}{5x+3}=\frac{5x+3+3x+2}{5x+3}=\frac{8x+5}{5x+3}$

Bài 54 trang 59 sgk toán 8

Tìm các giá trị của x để giá trị của các phân thức sau được xác định :

a)$\frac{3x+2}{2x^2-6x}$;                                

b)$\frac{5}{x^2-3}$.

Hướng dẫn làm bài:

a) $2x^2-6x=2x\left(x-3\right)\ne 0$ khi $2x\ne 0$ và $x-3\ne 0$

Vậy $x\ne 0$ và $x\ne 3$ .

b) $x^2-3=x^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\ne 0$

Khi $x-\sqrt{3}\ne 0$ và $x+\sqrt{3}\ne 0$ .

Vậy $x\ne -\sqrt{3}$ và $x\ne \sqrt{3}$

Bài 55 trang 59 sgk toán 8

Cho phân thức 

$\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}$.

a)Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?

b)Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là $\frac{x+1}{x-1}$.

c)Để tính giá trị của phân thức đã cho tại x = 2 và tại x = -1, bạn Thắng đã làm như sau:

-Với x = 2, phân thức đã cho có giá trị là $\frac{2+1}{2-1}=3$;

-Với x = -1, phân thức đã cho có giá trị là $\frac{-1+1}{-1-1}=0$.

Em có đồng ý không? Nếu không, em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai.

Theo em, với những giá trị nào của biến thì có thể tính được giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn?

Hướng dẫn làm bài:                                   

a) $x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ne 0khix-1\ne 0$ $x+1\ne 0$

Vậy  $x\ne 1,x\ne -1$

b)Rút gọn phân thức: $\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}=\frac{{\left(x+1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x+1}{x-1}$

c)Với x =2, giá trị của phân thức đã cho được xác định, do đó phân thức đã cho có giá trị bằng $\frac{2+1}{2-1}=3$. Bạn Thắng đã tính đúng.

Với x = -1, giá trị của phân thức đã cho không xác định (vì điều kiện của biến x để giá trị phân thức được xác định là $(x\ne 1,x\ne -1)$ nên trong trường hợp này bạn Thắng làm sai.