Bài 14 trang 43 sách giáo khoa toán 8

Quy dồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{5}{x^5{y}^3},\frac{7}{12x^3{y}^4}$;                  b) $\frac{4}{15x^3{y}^5},\frac{11}{12x^4{y}^2}$

Hướng dẫn giải:

a) MTC = 12x⁵y⁴ 

Nhân tử phụ: 12x⁵y⁴ : x⁵y³ = 12y

                         12 x⁵y⁴ : 12x³y⁴ = x²

Qui đồng: $\frac{5}{x^5{y}^3}=\frac{5.12y}{x^5{y}^3.12y}=\frac{60y}{12x^5{y}^4}$

                $\frac{7}{12x^3{y}^4}=\frac{7x^2}{12x^3{y}^4{x}^2}=\frac{7x^2}{12x^5{y}^4}$

b) MTC = 12x⁴y⁵

Nhân tử phụ: 60x⁴y⁵ : 15x³y⁵ = 4x

                     60x⁴y⁵ : 12x⁴y² = 5y³

Qui đồng: $\frac{4}{15x^3{y}^5}=\frac{4.4x}{15x^3{y}^{{}^{}.4x}}=\frac{16x}{60x^4{y}^5}$

               $\frac{11}{12x^4{y}^2}=\frac{11.5y^3}{12x^4{y}^2.5y^3}=\frac{55y^3}{60x^4{y}^5}$

Bài 15 trang 43 sách giáo khoa toán 8

Quy đồng mẫu các phân thức sau:

a) $\frac{5}{2x+6},\frac{3}{x^2-9}$;                  b) $\frac{2x}{x^2-8x+16},\frac{x}{3x^2-12x}$

Hướng dẫn giải:

a) Tìm MTC: 2x + 6 = 2(x + 3)

x² - 9 = (x -3)(x + 3)

MTC: 2(x - 3)(x + 3) = 2(x² - 9)

Qui đồng: $\frac{5}{2x+6}=\frac{5}{2(x+3)}=\frac{5(x-3)}{2(x-3)(x+3)}$

              $\frac{3}{x^2-9}=\frac{3}{(x-3)(x+3)}=\frac{3.2}{2(x-3)(x+3)}=\frac{6}{2(x-3)(x+3)}$

b) TÌm MTC: 

 x² – 8x + 16 = (x – 4)²

3x² – 12x = 3x(x – 4)

MTC: 3x((x – 4)²

Qui đồng: $\frac{2x}{x^2-8x+16}=\frac{2x}{(x-4{)}^2}=\frac{2x.3x}{3x(x-4{)}^2}=\frac{6x^2}{3x(x-4{)}^2}$

                $\frac{x}{3x^2-12}=\frac{x}{3x(x-4)}=\frac{x(x-4)}{3x(x-4{)}^2}$

Bài 16 trang 43 sách giáo khoa toán 8

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu đối với một phân thức để tìm mẫu thức chung thuận tiện hơn):

a) $\frac{4x^2-3x+5}{x^3-1},\frac{1-2x}{x^2+x+1},-2$,        b) $\frac{10}{x+2},\frac{5}{2x-4},\frac{1}{6-3x}$

Hướng dẫn giải:

a) Tìm MTC: x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1)

Nên MTC = (x – 1)(x² + x + 1)

Qui đồng: $\frac{4x^2-3x+5}{x^3-1}=\frac{4x^2-3x+5}{(x-1)(x^2+x+1)}$

               $\frac{1-2x}{x^2+x+1}=\frac{(x-1)(1-2x)}{(x-1)(x^2+x+1)}$

                          -2 = $\frac{-2(x^3-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$

b) Tìm MTC: x+ 2

2x - 4 = 2(x - 2)

6 - 3x = 3(2 - x) = 3(x -2)

MTC = 6(x - 2)(x + 2)

Qui đồng:$\frac{10}{x+2}=\frac{\mathrm{10.6.}(x-2)}{6(x-2)(x+2)}=\frac{60(x-2)}{6(x-2)(x+2)}$

              $\frac{5}{2x-4}=\frac{5}{x(x-2)}=\frac{5.3(x+2)}{2(x-2).3(x+2)}=\frac{15(x+2)}{6(x-2)(x+2)}$

              $\frac{1}{6-3x}=\frac{1}{-3(x-2)}=\frac{-2(x+2)}{-3(x-2).(-2(x+2\left)\right)}=\frac{-2(x+2)}{6(x-2)(x+2)}$

Bài 17 trang 43 sách giáo khoa toán 8

Đố. Cho hai phân thức: 

$\frac{5x^2}{x^3-6x^2},\frac{3x^2+18x}{x^2-36}$

Khi quy đồng mẫu thức, bạn Tuấn đã chọn MTC = x²(x – 6)(x + 6), còn bạn Lan bảo rằng: "Quá đơn giản! MTC = x - 6". Đố em biết bạn nào chọn đúng?

Hướng dẫn giải:

 Cách làm của bạn Tuấn:

x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1  x³ – 6x² = x²(x – 6)

x² – 36 = (x – 6)(x + 6)

MTC = x²(x – 6)(x + 6)

Nên bạn Tuấn làm đúng.

Bài 18 trang 43 sgk toán 8

Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

a)$\frac{3x}{2x+4}\$và\$\frac{x+3}{x^2-4}$

b)$\frac{x+5}{x^2+4x+4}\$và\$\frac{x}{3x+6}$

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có: 2x + 4 =2(x+2)

$x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$

$MTC=2\left(x-2\right)\left(x+2\right)=2\left(x^2-4\right)$

Nên: $\frac{3x}{2x+4}=\frac{3x\left(x-2\right)}{2\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{3x\left(x-2\right)}{2\left(x^2-4\right)}$

$\frac{x+3}{x^2-4}=\frac{\left(x+3\right).2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right).2}=\frac{2\left(x+3\right)}{2\left(x^2-4\right)}$

b) Ta có: $x^2+4x+4={\left(x+2\right)}^2$

$3x+6=3\left(x+2\right)$

MTC= $3{\left(x+2\right)}^2$

Nên: $\frac{x+5}{x^2+4x+4}=\frac{\left(x+5\right).3}{{\left(x+2\right)}^2.3}=\frac{3\left(x+5\right)}{3{\left(x+2\right)}^2}$

$\frac{x}{3x+6}=\frac{x.\left(x+2\right)}{3\left(x+2\right).\left(x+2\right)}=\frac{x\left(x+2\right)}{3{\left(x+2\right)}^2}$

Bài 19 trang 43 sgk toán 8

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a)$\frac{1}{x+2}\$,\$\frac{8}{2x-x^2}$

b)$x^2+1\$,\$\frac{x^4}{x^2-1}$

c)$\frac{x^3}{x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3}\$,\$\frac{x}{y^2-xy}$

Hướng dãn làm bài:

a) MTC = $x\left(2-x\right)\left(2+x\right)$

$\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2+x}=\frac{x\left(2-x\right)}{x\left(2-x\right)\left(2+x\right)}$

b) MTC = $x^2-1$

$x^2+1=\frac{x^2+1}{1}=\frac{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)}{x^2-1}=\frac{x^4-1}{x^2-1}$

$\frac{x^4}{x^2-1}=\frac{x^4}{x^2-1}$

c) MTC:

Ta có: $x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3={\left(x-y\right)}^3$

$y^2-xy=y\left(y-x\right)=-y\left(x-y\right)$

Nên MTC = $y{\left(x-y\right)}^3$

+Quy đồng mẫu thức :

$\frac{x^3}{x^3-3x^{2}y+3x{y}^2}=\frac{x^3}{{\left(x-y\right)}^3}=\frac{x^{3}y}{y{\left(x-y\right)}^3}$

$\frac{x}{y^2-xy}=\frac{x}{y\left(y-x\right)}=\frac{x}{-y\left(x-y\right)}=\frac{-x}{y\left(x-y\right)}=\frac{-x{\left(x-y\right)}^3}{y{(x-y)}^3}$

Bài 20 trang 43 sgk toán 8

Cho hai phân thức:

$\frac{1}{x^2+3x-10}$ , $\frac{x}{x^2+7x+10}$

Không dùng cách phân tích các mẫu thức thành nhân tử, hãy chứng tỏ rằng có thể quy đồng mẫu thức hai phân thức này với mẫu thức chung là

$x^3+5x^2-4x-20$

Hướng dẫn làm bài:

Để chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức  $x^3+5x^2-4x-20$ làm mẫu thức chung ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

Thật vậy, ta có: 

$x^3+5x^2-4x-20=\left(x^2+3x-10\right)\left(x+2\right)$

$=\left(x^2+7x+10\right)\left(x-2\right)$

Nên MTC = $x^3+5x^2-4x-20$

$\frac{1}{x^2+3x-10}=\frac{1\left(x+2\right)}{\left(x^2+3x-10\right)\left(x+2\right)}=\frac{x+2}{x^3+5x^2-4x-20}$

$\frac{x}{x^2+7x+10}=\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x^2+7x+10\right)\left(x-2\right)}=\frac{x^2-2x}{x^3+5x^2-4x-20}$