Bài 51 (trang 24 SGK Toán 8 Tập 1): 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ – 2x² + x.

b) 2x² + 4x + 2 – 2y²

c) 2xy – x² – y² + 16

Lời giải:

a) x³ – 2x² + x

= x(x² – 2x + 1)

= x(x – 1)²

b) 2x² + 4x + 2 – 2y²

= 2[(x² + 2x + 1) – y²]

= 2[(x + 1)² – y²]

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x² – y² + 16

= 16 – (x² – 2xy + y²)

= 4² – (x – y)²

= (4 – x + y)(4 + x – y)

Bài 52 (trang 24 SGK Toán 8 Tập 1):

Chứng minh rằng (5n + 2)² – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Lời giải:

Ta có: (5n + 2)² – 4 = (5n + 2)² – 2²

= (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2) = 5n(5n + 4)

Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.

Vậy (5n + 2)² – 4 luôn chia hết cho 5 với n ∈ Ζ

Bài 53 (trang 24 SGK Toán 8 Tập 1): 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – 3x + 2

b) x² + x – 6

c) x² + 5x + 6

(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta có x² – 3x + 2 = x² – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.

Cũng có thể tách 2 = - 4 + 6, khi đó ta có x² – 3x + 2 = x² – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)

Lời giải:

a) x² – 3x + 2

= x² – x – 2x + 2

= x(x – 1) – 2(x – 1)

= (x – 1)(x – 2)

Hoặc x² – 3x + 2

= x² – 3x – 4 + 6

= x² – 4 – 3x + 6

= (x² – 2²) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)

b) x² + x – 6

= x² + 3x – 2x – 6

= x(x + 3) – 2(x + 3)

= (x + 3)(x – 2)

c) x² + 5x + 6

= x² + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2)

= (x + 2)(x + 3)

Bài 54 (trang 25 SGK Toán 8 Tập 1): 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ + 2x²y + xy² – 9x

b) 2x – 2y – x² + 2xy – y²

c) x⁴ – 2x²

Lời giải:

a) x³ + 2x²y + xy² – 9x

= x(x² + 2xy + y² – 9)

= x[(x² + 2xy + y²) – 9)

= x[(x + y)² – 3²]

= x(x + y – 3)(x + y + 3)

b) 2x – 2y – x² + 2xy – y²

= (2x – 2y) – (x² – 2xy + y²)

= 2(x – y) – (x – y)²

= (x – y)[2 – (x – y)]

= (x – y)(2 – x + y)

c) x⁴ – 2x²

= x²(x² – 2)

Bài 55 (trang 25 SGK Toán 8 Tập 1): Tìm x, biết:

b) (2x – 1)² – (x + 3)² = 0

c) x²(x – 3) + 12 – 4x = 0

Lời giải:

c) x²(x – 3) + 12 – 4x = 0

⇔ x²(x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(x² – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x² – 2²) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

Hoặc x – 3 = 0 => x = 3

Hoặc x – 2 = 0 => x = 2

Hoặc x + 2 = 0 => x = -2

Bài 56 (trang 25 SGK Toán 8 Tập 1): 
Tính nhanh giá trị của đa thức:

b) x² – y² – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6

Lời giải:

a) Ta có:

b) Ta có:

x² – y² - 2y – 1 = x² – (y² + 2y + 1)

= x² – (y + 1)² = (x – y – 1)(x + y + 1)

Với x = 93, y = 6 thì:

    (93 – 6 – 1)(93 + 6 + 1) = 86.100 = 8600

Bài 57 (trang 25 SGK Toán 8 Tập 1): 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – 4x + 3 ;         b) x² + 5x + 4

c) x² – x – 6 ;         d) x⁴ + 4

(Gợi ý câu d): Thêm và bớt 4x² vào đa thức đã cho)

Lời giải:

a) x² – 4x + 3

= x² – x – 3x + 3

= x(x – 1) – 3(x – 1)

= (x – 1)(x – 3)

b) x² + 5x + 4

= x² + x + 4x + 4

= x(x + 1) + 4(x + 1)

= (x + 1)(x + 4)

c) x² – x – 6

= x² + 2x – 3x – 6

= x(x + 2) – 3(x + 2)

= (x – 3)(x + 2)

d) x⁴ + 4

= x⁴ + 4x² + 4 – 4x²

= (x² + 2)² – (2x)²

= (x² + 2 – 2x)(x² + 2 + 2x)

Bài 58 (trang 25 SGK Toán 8 Tập 1): 
Chứng minh rằng n³ – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Lời giải:

Ta có: A = n³– n = n(n² – 1) = n(n – 1)(n + 1)

Với n ∈ Ζ, A là tích của ba số nguyên liên tiếp. Do đó A chia hết cho 3 và 2.

Vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 2, 3 hay chia hết cho 6.